1 . 已知双曲线的左右焦点分别为，，焦距为4，且其渐近线方程为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线与双曲线的右支交于M，N两点，点关于轴对称的点为，若的面积为，求直线的方程.

2 . 设双曲线的左､右焦点分别为，且焦距为8，一条渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知是直线上一点，直线交双曲线于两点，其中在第一象限，为坐标原点，过点作直线的平行线，与直线交于点，与轴交于点，证明：点为线段的中点.

3 . 已知，为双曲线E：（，）的左、右焦点，E的离心率为，M为E上一点，且.
(1)求E的方程；
(2)设点M在坐标轴上，直线l与E交于异于M的A，B两点，且点M在以线段AB为直径的圆上，过M作，垂足为C，是否存在点D，使得为定值？若存在，求出点D的坐标以及的长度；若不存在，请说明理由.

4 . 已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，
(1)求圆心的轨迹方程
(2)若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明的值是定值.

5 . 直线与双曲线相交于不同的两点A,B.
（1）求实数的取值范围；
（2）若以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求实数的值.