1 . 已知双曲线的一条渐近线方程的倾斜角为，焦距为4．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)A为双曲线的右顶点，为双曲线上异于点A的两点，且．
①证明：直线过定点；
②若在双曲线的同一支上，求的面积的最小值．

2 . 已知双曲线的中心为坐标原点，左、右焦点分别为，且点在双曲线上.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若直线与直线交于点，点是双曲线上一点，且满足，记直线的斜率为，直线的斜率为，求.

3 . 已知双曲线：的离心率为，且过．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，是的右顶点，且直线与的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．

4 . 已知曲线上任意一点到的距离是它到的距离的倍.
(1)求曲线的方程；
(2)直线交x轴于N，与曲线C在第一象限的交点为E，过点N的直线与曲线C交于F，G两点，与直线交于点K，记EF，EG，EK的斜率分别为，，，求证：是，的等差中项

5 . 已知为坐标原点,,分别是双曲线：（,）的左, 右焦点,,若直线与双曲线点的右支有公共点.
(1)求的离心率的最小值;
(2)当双曲线的离心率最小时,直线与交于,两点,求的值.

6 . 已知双曲线E：的离心率为2，点在E上.
（1）求E的方程：
（2）过点的直线交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB的斜率之和.

7 . 已知椭圆和双曲线，点，为椭圆的左，右顶点，点在双曲线上，直线与椭圆交于点（不与点，重合），设直线，，，的斜率分别为，，，.
（1）求证：；
（2）求证：的值为定值.