1 . 已知A，B为抛物线C：上的两点，△OAB是边长为的等边三角形，其中O为坐标原点．
(1)求C的方程．
(2)过C的焦点F作圆M：的两条切线，．
（i）证明：，的斜率之积为定值．
（ii）若，与C分别交于点D，E和H，G，求的最小值．

2 . 在平面直角坐标系xOy中，已知F为抛物线C：的焦点，O为坐标原点，M为C的准线l上一点，直线MF的斜率为，的面积为4．
(1)求C的方程；
(2)过点F的直线交C于A，B两点，过点B作y轴的垂线交直线AO于点D，过点A作直线DF的垂线与C的另一交点为E，AE的中点为G，证明：G，B，D三点纵坐标相等．

3 . 已知抛物线，是轴下方一点，为上不同两点，且的中点均在上.
(1)若的中点为，证明：轴；
(2)若在曲线上运动，求面积的最大值.

4 . 已知抛物线：的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于，两点，当直线的倾斜角为时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)求证：过焦点且垂直于的直线与以为直径的圆的交点分别在定直线上．

5 . 已知抛物线C∶y²=2px(p>0)的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，三角形AOB(点O为坐标原点)的面积为2.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设不经过原点的直线与抛物线交于P，Q两点，设直线OP，OQ的倾斜角分别为α和β，证明：当时，直线恒过定点.

6 . 已知抛物线的焦点为，点，圆与抛物线交于，两点，直线与抛物线交点为.
（1）求证：直线过焦点；
（2）过作直线，交抛物线于，两点，求四边形面积的最小值.

7 . 设A、B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且，（其中O为坐标原点）．
（1）求证：直线必与x轴交于一定点Q，并求出此定点Q的坐标；
（2）过点Q作直线的垂线与抛物线交于C、D两点，求四边形面积的最小值．

8 . 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．
（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；
（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.

9 . 已知抛物线内一定点，过点分别作斜率为，的两条直线、，交抛物线于、和、四点，设、分别为线段和的中点．
(1)当且时，求的面积的最小值；
(2)若（为常数，且），证明：直线过定点，并求出定点坐标．