1 . 设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点、．当直线垂直于轴时，．

(1)求抛物线的标准方程．
(2)已知点，直线、分别与抛物线交于点、.
①求证：直线过定点；
②求与面积之和的最小值．

2 . 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后反射光线或其反向延长线必过抛物线的焦点．已知抛物线，O为坐标原点．一束平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点反射后，再经C上另一点反射后，沿直线射出，经过点．
(1)求证：；
(2)若PB平分，求点B到直线QP的距离．

3 . 已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与抛物线相交于A，B两点，

(1)当时，求直线l的方程；
(2)求证：以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切．

4 . 动点到定点的距离比它到直线的距离小，设动点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于，两个不同的点，过点，分别作曲线的切线，且二者相交干点．
(1)求曲线的方程；
(2)求证：；
(3)求的面积的最小值．

5 . 已知抛物线的焦点为F，抛物线H上的一点M的横坐标为5，为坐标原点，．
(1)求抛物线H的方程；
(2)若一直线经过抛物线H的焦点F，与抛物线H交于A，B两点，点C为直线上的动点．
①求证：．
②是否存在这样的点C，使得△ABC为正三角形?若存在，求点C的坐标；若不存在，说明理由，

6 . 已知抛物线上的点与焦点的距离为9，点到轴的距离为．
(1)求抛物线的方程．
(2)经过点的直线与抛物线交于两点，为直线上任意一点，证明：直线的斜率成等差数列．

7 . 已知抛物线，直线l经过抛物线C的焦点，且垂直于抛物线C的对称轴，直线l与抛物线C交于M，N两点，且．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点，直线与抛物线C相交于不同的两点A，B，设直线PA与直线PB的斜率分别为和，求证：为定值．

8 . 在平面直角坐标系中，圆外的点在轴的右侧运动，且到圆上的点的最小距离等于它到轴的距离，记的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于，两点，以为直径的圆与平行于轴的直线相切于点，线段交于点，证明：是的中点．

9 . 设AB是过抛物线焦点F的弦，若，，求证：
(1)；
(2)（为弦AB的倾斜角）．

10 . 设抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，.
(1)求抛物线的方程；
(2)为上异于的任意一点，直线分别与的准线相交于两点，证明：以线段为直径的圆经过轴上的两个定点.