1 . 在平面直角坐标系中，抛物线，三点，，中仅有一个点在抛物线上．
(1)求的方程；
(2)设直线不经过点且与相交于两点．若直线与的斜率之和为，证明：过定点．

2 . 已知抛物线，直线截抛物线所得弦长为.
（1）求抛物线的方程；
（2）在直线上任取点作抛物线切线，切点为，，求证：直线过定点.

3 . 设圆过点，且在轴上截得的弦的长为4.
(1)求圆心的轨迹的方程；
(2)过点，作轨迹的两条互相垂直的弦，，设、的中点分别为、，试判断直线是否过定点？并说明理由.

4 . 已知直线经过抛物线的焦点且与此抛物线交于两点，，直线与抛物线交于两点，且两点在轴的两侧．
(1)证明：为定值；
(2)求直线的斜率的取值范围；
(3)已知函数在处取得最小值，求线段的中点到点的距离的最小值（用表示）

5 . 已知直线经过抛物线的焦点且与此抛物线交于，两点，，直线与抛物线交于，两点，且，两点在轴的两侧.
（1）证明：为定值；
（2）求直线的斜率的取值范围；
（3）若（为坐标原点），求直线的方程.

6 . 在直角坐标系中，曲线上的点均在曲线外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与曲线上点的距离的最小值．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与曲线交于不同的两点、，过点的直线与曲线交于另一点，且直线过点，求证：直线过定点．

7 . 过点任作一直线交抛物线于两点，过两点分别作抛物线的切线．
(1)记的交点的轨迹为，求的方程；
(2)设与直线交于点（异于点），且，．问是否为定值？若为定值，请求出定值．若不为定值，请说明理由.

8 . 已知是圆上两点，点在抛物线上，当取得最大值时，__________．

9 . 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于 两点，且.
（1）求该抛物线的方程；       
（2）过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点和.设线段的中点分别为，求证：直线恒过一个定点.

10 . 如图所示，直线与抛物线交于两点，与轴交于点，且，
（1）求证：点的坐标为；
（2）求证：；
（3）求面积的最小值.