1 . 设抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，O为坐标原点，已知，．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F作直线l交C于A，B两点，P为C上异于A，B的任意一点，直线分别与C的准线相交于D，E两点，证明：以线段为直径的圆经过x轴上的两个定点．

2 . 如图，已知抛物线，在轴正半轴上有一点，过点作直线，分别交抛物线于点，过点作垂直于轴分别交于点.当，直线的斜率为1时，.

（1）求抛物线的方程；
（2）判断是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

3 . 在平面直角坐标系中，抛物线方程为，其顶点到焦点的距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）若点，设直线与抛物线交于、两点，且直线、的斜率之和为，试证明：对于任意非零实数，直线必过定点.

4 . 已知以动点为圆心的与直线：相切，与定圆：相外切.
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；
（Ⅱ）过曲线上位于轴两侧的点、（不与轴垂直）分别作直线的垂线，垂足记为、，直线交轴于点，记、、的面积分别为、、，且，证明：直线过定点.

5 . 抛物线M:的焦点为F，过焦点F的直线l(与x轴不垂直)交抛物线M于点A，B，A关于x轴的对称点为.
(1)求证:直线过定点，并求出这个定点；
(2)若的垂直平分线交抛物线于C，D，四边形外接圆圆心N的横坐标为19，求直线AB和圆N的方程.

6 . 已知点在抛物线上，且点的纵坐标为1，点到抛物线焦点的距离为2
（1）求抛物线的方程；
（2）若抛物线的准线与轴的交点为，过抛物线焦点的直线与抛物线交于，，且，求的值.

7 . 已知斜率为1的直线交抛物线：（）于，两点，且弦中点的纵坐标为2.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）记点，过点作两条直线，分别交抛物线于，（，不同于点）两点，且的平分线与轴垂直，求证：直线的斜率为定值.

8 . 已知抛物线C的焦点是椭圆的右焦点，准线方程为．
Ⅰ求抛物线C的方程；
Ⅱ若点P，Q是抛物线C上异于坐标原点O的任意两点，且满足，求证：直线PQ过定点．

9 . 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为H，过点F的直线l与抛物线的交点为A，B，且．
求证：；
求的值．

10 . 已知F为抛物线E：（p＞0）的焦点，C（，1）为E上一点，且|CF|=2．过F任作两条互相垂直的直线，，分别交抛物线E于P，Q和M，N两点，A，B分别为线段PQ和MN的中点．
（1）求抛物线E的方程及点C的坐标；
（2）试问是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；
（3）证明直线AB经过一个定点，求此定点的坐标，并求△AOB面积的最小值．