1 . 设过点与直线相切的动圆圆心的轨迹为，不过坐标原点的直线与曲线交于、两点，且．
(1)求曲线的方程；
(2)求证：直线过定点；
(3)若、两点到的距离相差为6，求的值．

2 . 已知抛物线的方程为，直线为抛物线的准线，点，且为抛物线上的不同两点，若有与垂直．
(1)求抛物线的方程．
(2)证明：直线过定点．

3 . 已知抛物线与直线相交于A、B两点．
(1)求证：；
(2)当的面积等于时，求k的值．

4 . 已知拋物线的顶点在原点，对称轴为 ​轴，且经过点​.
(1)求抛物线方程;
(2)若直线 ​与抛物线交于​两点，且满足​，求证: 直线​恒过定点，并求出定点坐标.

5 . 已知圆，一动圆与直线相切且与圆C外切．
(1)求动圆圆心P的轨迹T的方程；
(2)若经过定点的直线l与曲线相交于两点，M是线段的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线l，使得，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

6 . 已知曲线C上任意点到点F（1，0）距离比到直线x+2＝0的距离少1.
(1)求C的方程，并说明C为何种曲线；
(2)已知A（1，2）及曲线C上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为k₁，k₂，且k₁+k₂＝1，求证：直线BD经过定点.

7 . 已知抛物线上一点到焦点的距离为4.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过焦点的直线与抛物线交于不同的两点,,为坐标原点，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.

8 . 已知以坐标原点为圆心的圆与抛物线：相交于不同的两点，与抛物线的准线相交于不同的两点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)若不经过坐标原点的直线与抛物线相交于不同的两点､，且满足，证明直线过定点，并求出点的坐标.

9 . 设抛物线的准线为l，A、B为抛物线上两动点，于，定点使有最小值．

(1)求抛物线的方程；
(2)当（且）时，是否存在一定点T满足为定值？若存在，求出T的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．

10 . 已知抛物线过点，为原点．

(1)求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)直线与抛物线交于不同的两点、（、不与重合）．过点作轴的垂线分别与直线、交于点、，且为线段的中点．试判断直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，说明理由．