1 . 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于不同的两点，且当为的中点时，.
(1)求抛物线的方程.
(2)记抛物线在两点处的切线的交点为，是否存在直线使与的面积相等？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

2 . 已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为．
(1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程；
(2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上．

3 . 已知斜率为2的直线交抛物线于、两点，求证：
(1)线段AB的中点在一条定直线上
(2)为定值（O为坐标原点，、分别为直线OA、OB的斜率）

4 . 已知抛物线：.
(1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求；
(2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上.

5 . 已知抛物线E：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点.
(1)求面积的最小值；
(2)设直线交抛物线的准线于点，求证：平行于轴.

6 . 设抛物线：（）的焦点为，点（）在抛物线上，且满足．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点的直线与抛物线交于，两点，分别以，为切点的抛物线的两条切线交于点，求三角形周长的最小值．

7 . 已知F为抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点且.
（1）求C的方程.
（2）若直线与C交于M，N两点，且与相交于点T，证明：点T在定直线上.

8 . 如图，已知抛物线的焦点为，过焦点F作直线交抛物线于A，B两点，在A，B两点处的切线相交于N，再分别过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为C，D.

（1）求证：点N在定直线上；
（2）是否存在点N，使得的面积是的面积和的面积的等差中项，若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由.

9 . 如图，已知抛物线直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点.

（1）证明：；
（2）设抛物线C在点A处的切线为，在点B处的切线为，证明：与的交点M在一定直线上.

10 . 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线交抛物线于，两点.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点，分别作抛物线的切线，，点为直线，的交点.
（i）求证：点在一条定直线上；
（ii）求面积的取值范围.