1 . 已知椭圆的右焦点为，右准线为.点是椭圆上异于长轴端点的任意一点，连接并延长交椭圆于点，线段的中点为，为坐标原点，且直线与右准线交于点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求点的坐标；
（3）试确定直线与椭圆的公共点的个数，并说明理由.

2 . 已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．

3 . 已知点为椭圆C：（，）上一点，和分别为椭圆C的左右焦点，点D为椭圆C的上顶点，且.
（1）椭圆C的方程；
（2）若点A、B、P为椭圆C上三个不同的动点，且满足，直线与直线交于点Q，试判断动点Q的轨迹与直线的位置关系，并说明理由.

4 . 已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，点P是椭圆C上一点，以PF₁为直径的圆E：x²过点F₂．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P且斜率大于0的直线l₁与C的另一个交点为A，与直线x＝4的交点为B，过点（3，）且与l₁垂直的直线l₂与直线x＝4交于点D，求△ABD面积的最小值．

5 . 在平面直角坐标系xOy中已知椭圆，焦点在x轴上的椭圆与的离心率相同，且椭圆的外切矩形ABCD（两组对边分别平行于x轴、y轴）的顶点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）设为椭圆上一点（不与点A、B、C、D重合）.
①若直线：，求证：直线l与椭圆相交；
②记①中的直线l与椭圆C₁的交点为S、T，求证的面积为定值.

6 . 已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P是椭圆上异于短轴端点A，B的任意一点，过点P作轴于Q，线段PQ的中点为M.直线AM与直线交于点N，D为线段BN的中点，设O为坐标原点，试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系.

7 . 已知点为椭圆上任意一点，直线与圆 交于，两点，点为椭圆的左焦点.
（1）求证：直线与椭圆相切；
（2）判断是否为定值，并说明理由.

8 . 平面直角坐标系中，点是椭圆上任一点，直线截所得的弦被平分且.
（1）判断四边形的形状；
（2）求与的公共点数．

9 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦点为的抛物线的准线被椭圆截得的弦长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点、到直线的距离之积为，求证：直线与椭圆相切．

10 . 已知椭圆的焦距为4，且过点.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为，取点，连接，过点作的垂线交轴于点，点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆一定有唯一的公共点？并说明理由.