1 . 已知椭圆的上顶点为B，右焦点为F，点B、F都在直线上.
(1)求椭圆的标准方程及离心率；
(2)设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值．

2 . 已知椭圆：的左顶点为，焦距为.动圆的圆心坐标是，过点作圆的两条切线分别交椭圆于和两点，记直线、的斜率分别为和.
(1)求证：；
(2)若为坐标原点，作，垂足为.是否存在定点，使得为定值？

3 . 已知椭圆的焦距为，为坐标原点，椭圆的上下顶点分别为，，左右顶点分别为，，依次连接的四个顶点构成的四边形的面积为4．
(1)求的方程；
(2)过点的任意直线与椭圆交于，（不同于，）两点，直线的斜率为，直线的斜率为．求证：．

4 . 已知定点S( -2，0) ，T(2，0)，动点P为平面上一个动点，且直线SP、TP的斜率之积为.
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）设点B为轨迹E与y轴正半轴的交点，是否存在直线l，使得l交轨迹E于M，N两点，且F(1，0)恰是△BMN的垂心?若存在，求l的方程;若不存在，说明理由.

5 . 已知直线，椭圆分别为椭圆的左、右焦点.
(1)当直线过右焦点时，求椭圆的标准方程；
(2)设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，若点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围.

6 . 已知椭圆的长轴为，分别为椭圆C的左、右顶点，P是椭圆C上异于的动点，且面积的最大值为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点的直线l交椭圆C于两点，D为椭圆上一点，O为坐标原点，且满足，其中，求直线l的斜率k的取值范围.

7 . 已知和是平面直角坐标系中两个定点，过动点的直线和的斜率分别为，，且.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点作相互垂直的两条直线与轨迹交于，两点，求证：直线过定点.

8 . 已知椭圆的短轴长为，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程;
（2）设椭圆的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，，点，，为椭圆上位于轴上方的两点，且，记直线，的斜率分别为，，若，求直线的方程.

9 . 已知点M到定点的距离和它到直线的距离的比是常数．
求点M的轨迹C的方程；
若直线l：与圆相切，切点N在第四象限，直线与曲线C交于A、B两点，求证：的周长为定值．

10 . 如图已知椭圆，是长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，且，.

（Ⅰ）求椭圆的方程：
（Ⅱ）设为椭圆上异于且不重合的两点，且的平分线总是垂直于轴，是否存在实数，使得，若存在，请求出的最大值，若不存在，请说明理由.