1 . 设椭圆的左，右焦点分别为，其离心率为，且点在C上.
(1)求C的方程；
(2)O为坐标原点，P为C上任意一点.若M为的中点，过M且平行于的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在实数，使得？若存在，求值；若不存在，说明理由.

2 . 在平面直角坐标系中，椭圆：的焦距为2，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆左焦点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于，两点，若点满足，求.

3 . 已知椭圆：的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若不经过点的直线：与椭圆交于两点，且与圆相切.试探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.

4 . 已知以线段EF为直径的圆内切于圆O：x²+y²＝16.
（1）若点F的坐标为（﹣2，0），求点E的轨迹C的方程；
（2）在（1）的条件下，轨迹C上存在点T，使得，其中M，N为直线y＝kx+m（m≠0）与轨迹C的交点，求△MNT的面积.

5 . 已知点在椭圆C：上，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为，求的面积.

6 . 已知直线与椭圆交于 两点，与直线交于点
（1）证明：与C相切；
（2）设线段 的中点为 ，且,求的方程.

7 . 顺次连接椭圆：的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，，其中为坐标原点，求．

8 . 已知中心在原点O，左焦点为F₁(－1,0)的椭圆C的左顶点为A，上顶点为B，F₁到直线AB的距离为|OB|.
(1)求椭圆C的方程；

(2)如图，若椭圆，椭圆，则称椭圆C₂是椭圆C₁的λ倍相似椭圆．已知C₂是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C₂于两点M、N，试求弦长|MN|的取值范围．

9 . 已知椭圆，离心率为，两焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且的周长为8.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作圆的切线交椭圆于两点，求弦长的最大值．