1 . 2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”．如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列说法正确的有____________．

①椭圆的长轴长为；
②线段长度的取值范围是；
③面积的最小值是4；
④的周长为．

2 . 已知椭圆的离心率为，左焦点为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为 3 ．
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆交于两点，求的面积．

3 . 已知椭圆（）的两焦点为和，过的直线与椭圆C交于A，B两点，且的周长为8.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若的面积为，求直线的方程.

4 . 已知椭圆的离心率为，上顶点为，左焦点为，且直线与圆相切.
(1)求椭圆的方程
(2)是椭圆长轴两个端点，点是异于点的动点，点满足，求证：三角形面积与三角形面积之比为定值.

5 . 已知椭圆E：的离心率为，且点在椭圆E上，A为椭圆E的右顶点，O为坐标原点，过点A的直线l与椭圆E的另外一个交点为P，线段PA的中点为M.
(1)若直线l的斜率为1，求直线OM的斜率；
(2)若，求三角形OPM的面积.

6 . 已知椭圆的上､下焦点分别为，，左､右顶点分别为，，且四边形是面积为8的正方形.
(1)求C的标准方程.
(2)M，N为C上且在y轴右侧的两点，，与的交点为P，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.

7 . 已知椭圆的离心率为，且焦距为4.
(1)求的方程；
(2)设直线的倾斜角为，且与交于两点，点为坐标原点，求面积的最大值.

8 . 已知点､分别是椭圆C：）的左､右焦点，点P在椭圆C上，当∠PF₁F₂=时，面积达到最大，且最大值为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l：与椭圆C交于A､B两点，求面积的最大值.

9 . 点是曲线上任一点，已知曲线在点处的切线方程为．如图，点P是椭圆上的动点，过点P作椭圆C的切线l交圆于点A、B，过A、B作圆O的切线交于点M．

(1)求点M的轨迹方程；
(2)求面积的最大值．

10 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过椭圆的右焦点作直线，与轴垂直，交椭圆于、两点．
(1)求的长．
(2)求内切圆的面积．