1 . 已知圆，圆上有一动点P，线段PF的中垂线与线段PE交于点Q，记点Q的轨迹为C．第一象限有一点M在曲线C上，满足轴，一条动直线与曲线C交于A、B两点，且直线MA与直线MB的斜率乘积为．
(1)求曲线C的方程；
(2)当直线AB与圆E相交所成的弦长最短时，求直线AB的方程．

2 . 2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半粗圆组成的“曲圆”．如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列说法正确的有（       ）

       

A．椭圆的长轴长为

B．线段长度的取值范围是

C．面积的最小值是4

D．的周长为

3 . 已知椭圆的左、右焦点分别是，P是椭圆C上一点，则的重心与椭圆C短轴顶点距离的最大值为（       ）

A．1

B．

C．

D．

4 . 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是一个圆，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长半轴长与短半轴长平方和的算术平方根，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C的离心率为，M为其蒙日圆上一动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为36，则椭圆C的长轴长为（       ）

A．

B．

C．

D．

5 . 已知椭圆，点A为椭圆短轴的上端点，P为椭圆上异于A点的任一点，若P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知．
(1)若，判断椭圆是否为“圆椭圆”；
(2)若椭圆是“圆椭圆”，求a的取值范围；
(3)若椭圆是“圆椭圆”，且a取最大值，Q为P关于原点O的对称点，Q也异于A点，直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，试问以线段MN为直径的圆是否过y轴上的定点？若是，求出定点坐标．

6 . 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过圆C上的动点M作椭圆的两条切线，分别与圆C交于P，Q两点，直线交椭圆于A，B两点，则下列结论中正确的是（       ）

A．椭圆的离心率为

B．面积的最大值为

C．M到的左焦点的距离的最小值为

D．若动点D在上，将直线的斜率分别记为，则

7 . 在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右焦点分别为，，离心率为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切；过点的直线与椭圆相交于，两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求面积的最大值，并求取得最大值时与的面积之比.

8 . 已知点、，动点满足直线与的斜率之积为，记M的轨迹为曲线.
(1)求的方程，并说明是什么曲线；
(2)经过点的直线与曲线交于、两点.记与的面积分别为和，求的最大值.

9 . 椭圆的左、右焦点分别为、，O为坐标原点，则下列说法错误的是（       ）

A．过点的直线与椭圆C交于A，B两点，则的周长为4

B．椭圆C的离心率为

C．P为椭圆C上一点，Q为圆上一点，则点P，Q的最大距离为3

D．椭圆C上不存在点P，使得

10 . 已知椭圆的上下焦点分别为，，左右顶点分别为，，是该椭圆上的动点，则下列结论正确的是（       ）

A．该椭圆的长轴长为

B．使为直角三角形的点共有6个

C．的面积的最大值为1

D．若点是异于､的点，则直线与的斜率的乘积等于-2