1 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴长为4，且焦距为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为，直线过的右焦点，且交于两点，若直线与交于点，求证：点在定直线上．

2 . 椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M为椭圆上位于x轴上方的一点，，且的面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.求证：直线恒过定点.

3 . 已知椭圆：的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线：与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切．
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆的上顶点，过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，证明：直线过定点，并求出该定点．

4 . 阿基米德(公元前287年---公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆的面积等于，且椭圆的焦距为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点是轴上的定点，直线与椭圆交于不同的两点，已知A关于轴的对称点为，点关于原点的对称点为，已知三点共线，试探究直线是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

5 . 已知椭圆E：，P为椭圆E的右顶点，O为坐标原点，过点P的直线l₁，l₂与椭圆E的另外一个交点分别为A，B，线段PA的中点为M，线段PB的中点为N.
（1）若直线OM的斜率为，求直线l₁的方程；
（2）若OM⊥ON，证明：直线AB过定点.

6 . 已知椭圆：()的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点且不垂直于轴的直线与椭圆相交于、两点，若点关于轴的对称点为，证明：直线与轴相交于定点.

7 . 已知椭圆：()的离心率为，且长轴长为4.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点(不与椭圆的顶点重合)，以为直径的圆过椭圆的上顶点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标.

8 . 已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，点A（2，1）在椭圆C上.

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）不过点A的直线l与椭圆相交于不同的两点M，N，若直线AM与直线AN的斜率k₁，k₂总满足k₁k₂＝﹣，求证：直线l必过定点.

9 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点A在椭圆上，且，的面积为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）斜率存在且不为零的直线与椭圆相交于，两点，点的坐标为，若直线，的倾斜角互补，求证：直线过定点．

10 . 已知点P是椭圆C:上一点，F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率之和为1，问:直线l是否过定点?证明你的结论