2 . 已知椭圆过点，两点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点P的直线l与椭圆E交于C，D两点．
（i）若点P坐标为，直线BC，BD分别与x轴交于M，N两点．求证：；
（ii）若点P坐标为，直线g的方程为，椭圆E上存在定点Q，使直线QC，QD分别与直线g交于M，N两点，且．请直接写出点Q的坐标，结论不需证明．

3 . 在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：＋ ＝1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、PB与直线l：y＝－2分别交于点M、N.

（1）设直线AP、PB的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁·k₂为定值；
（2）求线段MN长的最小值；
（3）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．

4 . 已知双曲线的离心率为，实轴长为．两条不同直线与双曲线分别交于A，B两点和C，D两点，两条直线的斜率分别为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线l₁过右焦点，求线段AB长度的最小值；
(3)若两条不同直线都过点且演足分别为线段AB，CD的中点，求证直线MN过定点，并求出该定点坐标．

5 . 如图，椭圆的一个焦点为，且过点.

(1)求椭圆的方程；
(2)若为垂直于轴的动弦，直线与轴交于点，直线与交于点.
（ⅰ）求证：点恒在椭圆上；
（ⅱ）求面积的最大值.

6 . 如图，D为圆O：上一动点，过点D分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接并延长至点W，使得，点W的轨迹记为曲线．

(1)求曲线C的方程；
(2)若过点的两条直线，分别交曲线C于M，N两点，且，求证：直线MN过定点；
(3)若曲线C交y轴正半轴于点S，直线与曲线C交于不同的两点G，H，直线SH，SG分别交x轴于P，Q两点．请探究：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由．

7 . 已知椭圆（）的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)分别过椭圆的左、右焦点、作两条互相垂直的直线和，与交于，与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点．
①求证：；
②求证：为定值．

8 . 已知椭圆的右焦点为，离心率．
(1)若为椭圆上一动点，证明到的距离与到直线的距离之比为定值，并求出该定值；
(2)设，过定点且斜率为的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在一点，使得轴始终平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

9 . 已知圆，为圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时.

(1)求点的轨迹的方程；
(2)已知圆：在的内部，是上不同的两点，且直线与圆相切.求证：以为直径的圆过定点.

10 . 已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由．
(3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．