1 . （1）已知定点、，动点N满足（O为坐标原点），，，，求点P的轨迹方程.

（2）如图，已知椭圆的上、下顶点分别为，点P在椭圆上，且异于点，直线与直线分别交于点，

（ⅰ）设直线的斜率分别为，求证：为定值；
（ⅱ）当P点运动时，以为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．

2 . 已知椭圆：的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线与椭圆相交于、两点，且与轴，轴交于、两点．
（i）若，求的值；
（ii）若点的坐标为，求证：为定值．

3 . 已知椭圆：的右顶点为，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左焦点和左顶点分别为和，过点的直线与C交于M，N两点，直线与交于点P，证明：点P在定直线上．

4 . 已知焦点在轴上的椭圆的焦距为，点在椭圆上.过坐标原点的直线交于两点，其中点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点.
   
(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：是直角三角形.

5 . 已知点P（2，）为椭圆C：）上一点，A，B分别为C的左、右顶点，且△PAB的面积为5．
(1)求C的标准方程；
(2)过点Q（1，0）的直线l与C相交于点G，H（点G在x轴上方），AG，BH与y轴分别交于点M，N，记，分别为△AOM，△AON（点O为坐标原点）的面积，证明为定值．

6 . 设椭圆，椭圆的右焦点恰好是直线与x轴的交点，椭圆的离心率为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设椭圆E的左､右顶点分别为A，B，过定点的直线与椭圆E交于C，D两点（与点A，B不重合），证明：直线AC，BD的交点的横坐标为定值.

7 . 已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，点O到直线AB的距离为，的面积为1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线l与椭圆交于C，D两点，若直线l∥直线AB，设直线AC，BD的斜率分别为，证明：为定值．

8 . 已知，分别为椭圆的左、右焦点，为上的动点，其中到的最短距离为1，且当的面积最大时，恰好为等边三角形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）斜率为的动直线过点，且与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，那么，是否为定值？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由.

9 . 给定椭圆，称圆心在原点、半径为的圆是椭圆的“卫星圆”，若椭圆的离心率为，点在上.
（1）求椭圆的方程和其“卫星圆”方程；
（2）点是椭圆的“卫星圆”上的一个动点，过点作直线、使得，与椭圆都只有一个交点，且、分别交其“卫星圆”于点、，证明：弦长为定值.

10 . 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，以椭圆C左顶点T为圆心作圆，设圆T与椭圆C交于点M与点N.

（1）求椭圆C的方程；
（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；
（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：为定值.