1 . 已知O为坐标原点，M是椭圆上的一个动点，点N满足，设点N的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程．
(2)若点A，B，C，D在椭圆上，且与交于点P，点P在上．证明：的面积为定值．

2 . 已知双曲线的离心率为，点在C上．
(1)求双曲线C的方程．
(2)设过点的直线l与双曲线C交于D，E两点，问在x轴上是否存在定点P，使得为常数？若存在，求出点P的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由，

3 . 已知椭圆的短轴长是2，且离心率为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)已知，若直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，是否存在常数，使恒成立，并说明理由．

4 . 如图，已知焦点在轴上的椭圆的长轴长为，离心率为.

（1）求椭圆的方程；
（2）设为原点，椭圆的左、右两个顶点分别为、，点椭圆上与、不重合的任意一点，点和点关于轴对称，直线与直线交于点，求证：，两点的横坐标之积为定值．

5 . 已知椭圆的离心率为，点在上
（1）求的方程
（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.