1 . 设椭圆的左、右焦点分别为，离心率，长轴为4，且过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，其中为坐标原点，求直线的斜率；
(3)若是椭圆经过原点的弦，且，判断是否为定值？若是定值，请求出，若不是定值，请说明理由．

2 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点M在椭圆C上移动，的周长为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若A，B分别是椭圆C的左、右顶点，O为坐标原点，点P为直线上的动点，连接AP交椭圆于点Q（异于点A）.判断是否为定值，若是，求出该定值；若否，请说明理由.

3 . 已知椭圆的离心率为，过定点的直线l与椭圆E相交于A，B两点，C为椭圆的左顶点，当直线l过点时，（O为坐标原点）的面积为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求证：当直线l不过C点时，为定值．

4 . 已知椭圆的离心率为，过椭圆内点的直线与椭圆E相交于A，B两点，C为椭圆的左顶点，当直线过点时，的面积为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求证：当直线l不过C点时，为定值．

5 . 已知椭圆C： (a>b>0)的焦点为F₁，F₂，离心率为，点P为其上一动点，且三角形PF₁F₂面积的最大值为，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点M，N为C上的两个动点，求常数m，使·＝m时，点O到直线MN的距离为定值，求这个定值．

6 . 在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点，在轴上，离心率为.过的直线交于，两点，且的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）圆与轴正半轴相交于两点，（点在点的左侧），过点任作一条直线与椭圆相交于，两点，连接，，求证.

7 . 已知椭圆（），其左，右焦点分别为，，离心率为，点，又点在线段的中垂线上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左右顶点分别为，，点在直线上（点不在轴上），直线与椭圆交于点，直线与椭圆交于，线段的中点为，证明：.

8 . 已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若垂直于轴，求直线的斜率；
（Ⅲ）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．

9 . 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．
（i）若，求直线的斜率；
（ii）求证：是定值．