1 . 已知椭圆过点，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于、两点，过、作直线的垂线，垂足分别为、，点为线段的中点，为椭圆的左焦点．求证：四边形为梯形．

2 . 已知椭圆的离心率为，、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且的周长是6.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线经过椭圆的右焦点且与交于不同的两点，，试问：在轴上是否存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

3 . 顺次连接椭圆的四个顶点得到边长为的菱形，该菱形对角线长度之比为
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的右焦点为，定点，过点的直线与椭圆交于两点，，设直线的斜率分别为，求证：为定值.

4 . 椭圆的焦点为和，过的直线交于两点，过作与轴垂直的直线，又知点，直线记为，与交于点．设，已知当时，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：无论如何变化，点的横坐标是定值，并求出这个定值．

5 . 已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且过点的直线l交椭圆于A，B两点，的周长为8．
（1）求椭圆E的方程；
（2）证明：．

6 . 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，以椭圆C左顶点T为圆心作圆，设圆T与椭圆C交于点M与点N.

（1）求椭圆C的方程；
（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；
（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：为定值.