2024·全国·模拟预测
1 . 已知椭圆
的焦距为
，离心率为
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)过点
作两条直线
交于
两点，
交于
两点，若
四点均不在坐标轴上，且
关于坐标原点对称，记直线
与
的斜率分别为
，判断是否存在非零常数
，使得
？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
的焦距为，离心率为.(1)求椭圆
的标准方程；(2)过点
作两条直线交于两点，交于两点，若四点均不在坐标轴上，且关于坐标原点对称，记直线与的斜率分别为，判断是否存在非零常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
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2 . 已知
为坐标原点，定点
，
，动点
满足直线
和
斜率乘积等于
．
(1)求动点的轨迹
的方程；
(2)若不垂直于
轴的直线
与交于
两点，若以
为邻边作平行四边形
，点
恰好在上．问平行四边形的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
为坐标原点，定点，，动点满足直线和斜率乘积等于．(1)求动点
的轨迹的方程；(2)若不垂直于
轴的直线与交于两点，若以为邻边作平行四边形，点恰好在上．问平行四边形的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
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解题方法
3 . 已知椭圆C：
（
）的离心率为
，过右焦点的直线l与椭圆C交于M，N两点，且当
轴时，
．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l的斜率存在且不为0，点M，N在x轴上的射影分别为P，Q，且
，N，P三点共线，设
与
的面积分别为
，
，试判断
是否为定值，若是，求出该定值，如果不是，请说明理由．
（）的离心率为，过右焦点的直线l与椭圆C交于M，N两点，且当轴时，．(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l的斜率存在且不为0，点M，N在x轴上的射影分别为P，Q，且
，N，P三点共线，设与的面积分别为，，试判断是否为定值，若是，求出该定值，如果不是，请说明理由．
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4 . 已知O为坐标原点，椭圆C：
的上、下顶点为A、B，椭圆上的点P位于第二象限，直线PA、PB、PO的斜率分别为
，且
.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过原点O分别作直线PA、PB的平行线与椭圆相交，得到四个交点，将这四个交点依次连接构成一个四边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请求出其取值范围.
的上、下顶点为A、B，椭圆上的点P位于第二象限，直线PA、PB、PO的斜率分别为，且.(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过原点O分别作直线PA、PB的平行线与椭圆相交，得到四个交点，将这四个交点依次连接构成一个四边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请求出其取值范围.
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5 . 已知椭圆
的长轴长为4，左、右顶点分别为
，上、下顶点分别为
，四边形
的内切圆
的半径为
，过椭圆
上一点T引圆的两条切线（切线斜率存在且不为0），分别交椭圆于点P，Q．
(1)求椭圆的方程；
(2)试探究直线与的斜率之积是否为定值，并说明理由；
(3)记点O为坐标原点，求证：P，O，Q三点共线．
的长轴长为4，左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，四边形的内切圆的半径为，过椭圆上一点T引圆的两条切线（切线斜率存在且不为0），分别交椭圆于点P，Q．(1)求椭圆
的方程；(2)试探究直线
与的斜率之积是否为定值，并说明理由；(3)记点O为坐标原点，求证：P，O，Q三点共线．
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6 . 已知椭圆过点
，直线过的上顶点和右焦点，的倾斜角为
，且满足
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设两点为椭圆的左、右顶点，点
（异于左、右顶点）为椭圆上一动点，直线
，
的斜率分别为
，
，求证：
为定值.
过点，直线过的上顶点和右焦点，的倾斜角为，且满足.(1)求椭圆
的标准方程；(2)设
两点为椭圆的左、右顶点，点（异于左、右顶点）为椭圆上一动点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
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7 . 已知椭圆
的右焦点为
，左顶点为
，短轴长为
，且经过点
．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线（不与轴重合）与交于
两点，直线
与直线
的交点分别为，记直线
的斜率分别为
，证明：为定值．
的右焦点为，左顶点为，短轴长为，且经过点．(1)求椭圆
的方程；(2)过点
的直线（不与轴重合）与交于两点，直线与直线的交点分别为，记直线的斜率分别为，证明：为定值．
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8 . 已知椭圆的左、右焦点分别为
，D为椭圆C的右顶点，且
.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设
，过点
的直线与椭圆C交于A，B两点（A点在B点左侧），直线AM与直线
交于点N，设直线NA，NB的斜率分别为，，求证：
为定值.
的左、右焦点分别为，D为椭圆C的右顶点，且.(1)求椭圆C的方程；
(2)设
，过点的直线与椭圆C交于A，B两点（A点在B点左侧），直线AM与直线交于点N，设直线NA，NB的斜率分别为，，求证：为定值.
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2024·全国·模拟预测
9 . 已知椭圆的离心率为，的左焦点与点
连线的斜率为
．
(1)求的方程．
(2)已知点
，过点
的直线与交于两点，直线
分别交于．试问：直线
的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
的离心率为，的左焦点与点连线的斜率为．(1)求
的方程．(2)已知点
，过点的直线与交于两点，直线分别交于．试问：直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
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10 . 已知椭圆
的一个顶点为
，离心率为
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)在直线
上任取一点
，设长轴上的两个顶点为，连接
分别交椭圆于
两点，证明：直线
的交点在直线上.
的一个顶点为，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；
(2)在直线
上任取一点，设长轴上的两个顶点为，连接分别交椭圆于两点，证明：直线的交点在直线上.
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