1 . 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程;
（2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程与定值；若不存在，请说明理由．

2 . 已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，当时，的面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线与椭圆交于两点，过两点分别作定直线的垂线，垂足分别为，求为定值.

3 . 已知椭圆E：的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为，点A在椭圆E上，∠F₁AF₂＝60°，△F₁AF₂的面积为4.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆E分别交于P，Q两点，证明：点O到直线PQ的距离为定值，并求出这个定值.

4 . 在平面直角坐标系中，直线过点且与直线垂直，直线与轴交于点，点与点关于轴对称，动点满足．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点不平行轴的直线与轨迹相交于，两点，设点，直线，，的斜率分别为，，，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

5 . 已知椭圆的左、右焦点分别为,且，是椭圆上一点．
（1）求椭圆的标准方程和离心率的值；
（2）若为椭圆上异于顶点的任一点，、分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线与轴交于点,直线与轴交于点，求证：为定值．

6 . 已知椭圆与圆：有且仅有两个公共点，点、、分别是椭圆上的动点、左焦点、右焦点，三角形面积的最大值是．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点在椭圆第一象限部分上运动，过点作圆的切线，过点作的垂线，求证：，交点的纵坐标的绝对值为定值．

7 . 已知椭圆为其左右焦点，为其上下顶点，四边形的面积为.点为椭圆上任意一点，以为圆心的圆（记为圆）总经过坐标原点.
（1）求椭圆的长轴的最小值，并确定此时椭圆的方程；
（2）对于（1）中确定的椭圆，若给定圆，则圆和圆的公共弦的长是否为定值？如果是，求的值；如果不是，请说明理由.

8 . 已知椭圆 的离心率为，左、右焦点分别是,以为圆心、3为半径的圆与以为圆心、1为半径的圆相交，交点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线与椭圆C交于A,B两点，点M是椭圆C的右顶点直线AM与直线BM分别与y轴交于点PQ，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

9 . 记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”.已知椭圆，以椭圆E的焦点为顶点作相似椭圆M.

(1)求椭圆M的方程；
(2)设直线l与椭圆交于两点，且与椭圆仅有一个公共点，试判断的面积是否为定值(为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

10 . 已知椭圆的焦距为，且经过点.过点的斜率为的直线与椭圆交于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点，直线交轴于点.
（1）求的取值范围；
（2）试问： 是否为定值？若是，求出定值；否则，说明理由.