1 . 已知点是抛物线上的动点，过点向轴作垂线段，垂足为，垂线段中点为，设的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设过点且斜率为1的直线交曲线于，两点，为坐标原点，求的面积.

2 . 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，且经过点.
(1)求抛物线的标准方程、焦点坐标；
(2)经过焦点F且斜率是1的直线，与抛物线交于A、B两点，求以及的面积.

3 . 已知焦点为的抛物线经过点．
(1)设为坐标原点，求抛物线的准线方程及△的面积；
(2)设斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，若以为直径的圆与抛物线的准线相切，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

5 . 已知抛物线过点．
(1)求抛物线C的方程及其焦点坐标；
(2)过点A的直线l与抛物线C的另一个交点为B，若的面积为2，其中O为坐标原点，求点B的坐标．

6 . 已知曲线M上的任意一点到点的距离比它到直线的距离小1．
(1)求曲线M的方程；
(2)设点．若过点的直线与曲线M交于B，C两点，求的面积的最小值．

7 . 已知抛物线的焦点为.
(1)求的值；
(2)过点的直线与抛物线交于，两个不同点，若的中点为，求的面积.