1 . 在平面直角坐标系中，已知直线过抛物线的焦点，与抛物线交于两点．
(1)若线段中点的横坐标为2，求线段的长；
(2)若直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴．

2 . 已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与抛物线相交于A，B两点，

(1)当时，求直线l的方程；
(2)求证：以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切．

3 . 在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的焦点，且与相交于两点，直线交的准线于点.
(1)若，求直线的方程；
(2)证明：直线平行于轴.

4 . 已知拋物线的焦点为，过点且斜率为的直线交于两点.当时，.
(1)求的方程；
(2)若关于轴的对称点为，当变化时，求证：直线过定点，并求该定点坐标.

5 . 已知抛物线H：的焦点为F，抛物线H上的一点M的横坐标为5，O为坐标原点..

(1)求抛物线H的方程；
(2)若一直线经过抛物线H的焦点F，与抛物线H交于A，B两点，点C为直线上的动点，求证：.

6 . 已知抛物线上的点与焦点的距离为9，点到轴的距离为．
(1)求抛物线的方程．
(2)经过点的直线与抛物线交于两点，为直线上任意一点，证明：直线的斜率成等差数列．

7 . 过抛物线y²＝2px(p>0)的焦点F的任意一条直线m，交抛物线于P₁，P₂两点，求证：以P₁P₂为直径的圆和该抛物线的准线相切．

8 . 已知抛物线的焦点为，且为圆的圆心．过点的直线交抛物线与圆分别为，，，（从上到下）．

(1)求抛物线方程并证明是定值；
(2)若，的面积比是，求直线的方程．

9 . 已知直线与抛物线交于，两点．
（1）若直线的斜率为-1，且经过抛物线的焦点，求线段的长；
（2）若点为坐标原点，且，求证：直线过定点．

10 . 过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线，且，相交于点A，B，相交于点C，D．以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为．
（I）若，证明；；
（II）若点M到直线的距离的最小值为，求抛物线E的方程．