名校
1 . 独立事件是一个非常基础但又十分重要的概念，对于理解和应用概率论和统计学至关重要．它的概念最早可以追湖到17世纪的布莱兹·帕斯卡和皮埃尔·德·费马，当时被定义为彼此不相关的事件．19世纪初期，皮埃尔·西蒙·拉普拉斯在他的《概率的分析理论》中给出了相互独立事件的概率乘法公式．对任意两个事件
与
，如果
成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立．
(1)若事件与事件相互独立，证明：
与相互独立；
(2)甲、乙两人参加数学节的答题活动，每轮活动由甲、乙各答一题，已知甲每轮答对的概率为
，乙每轮答对的概率为
．在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲乙两人在两轮活动中答对3道题的概率．
与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立．(1)若事件
与事件相互独立，证明：与相互独立；(2)甲、乙两人参加数学节的答题活动，每轮活动由甲、乙各答一题，已知甲每轮答对的概率为
，乙每轮答对的概率为．在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲乙两人在两轮活动中答对3道题的概率．
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2023-07-11更新
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471次组卷
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2卷引用：四川省绵阳市南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题（七）
名校
解题方法
2 . 某超市计划销售某种食品，现邀请甲乙两个商家进场试销10天．两个商家向超市提供的日返利方案如下：甲商家每天固定返利60元，且每卖出一件食品商家再返利3元；乙商家无固定返利，卖出不超出30件（含30件）的食品，每件食品商家返利5元，超出30件的部分每件返利10元．经统计，试销这10天两个商家每天的销量如下茎叶图：
(1)现从甲商家试销的销量不小于30件的4天中随机抽取2天，求这两天的销售量之和大于60件的概率；
(2)根据试销10天的数据，将频率视作概率，用样本估计总体，回答以下问题：
（ⅰ）记商家乙的日返利额为X（单位：元），求X的值域Ω；
（ⅱ）证明存在
，使得
，即X取值k的概率不小于X不取值k的概率．
(1)现从甲商家试销的销量不小于30件的4天中随机抽取2天，求这两天的销售量之和大于60件的概率；
(2)根据试销10天的数据，将频率视作概率，用样本估计总体，回答以下问题：
（ⅰ）记商家乙的日返利额为X（单位：元），求X的值域Ω；
（ⅱ）证明存在
，使得，即X取值k的概率不小于X不取值k的概率．
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2023-05-21更新
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499次组卷
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2卷引用：四川省成都市第七中学2023届高考模拟文科数学试题
名校
解题方法
3 . 在如图的直角梯形
中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”．可以简洁明了地推证出勾股定理，把这一证明方法称为“总统证法”．设
，在梯形中随机取一点，则此点取自等腰直角
中（阴影部分）的概率是（ ）
中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”．可以简洁明了地推证出勾股定理，把这一证明方法称为“总统证法”．设，在梯形中随机取一点，则此点取自等腰直角中（阴影部分）的概率是（ ）| A． | B． | C． | D． |
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解题方法
4 . 赵爽是我国古代著名数学之家，他用于证明勾股定理的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小四边形
构成，如图所示．已知直角三角形的两条直角边长分别为3，4，若在“赵爽弦图”中随机取一点，则该点取自四边形区域内的概率为（ ）
构成，如图所示．已知直角三角形的两条直角边长分别为3，4，若在“赵爽弦图”中随机取一点，则该点取自四边形区域内的概率为（ ）A． | B． | C． | D． |
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2022-07-12更新
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426次组卷
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3卷引用：四川省成都市2023届高三上学期摸底考试文科数学试题
5 . 成都市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了成都市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如表所示（单位：吨)：
（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率：
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中
，
.当数据a，b，c的方差
最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明），并求此时的值.
注：
，其中
为数据
，
，
，
的平均数.
| “厨余垃圾”箱 | “可回收物”箱 | “其他垃圾”箱 | |
| 厨余垃圾 | 500 | 50 | 50 |
| 可回收物 | 30 | 240 | 30 |
| 其他垃圾 | 20 | 20 | 60 |
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中
，.当数据a，b，c的方差最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明），并求此时的值.注：
，其中为数据，，，的平均数.
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2021-05-24更新
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474次组卷
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2卷引用：四川省天府名校2021届高三5月诊断性考试文科数学试题
名校
解题方法
6 . 防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用又有蓄洪作用.北京地区2010年至2019年每年汛末（10月1日）水库的蓄水量数据如下：
（Ⅰ）从2010年至2019年的样本数据中随机选取连续两年的数据，求这两年蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米的概率；
（Ⅱ）从2014年至2019年的样本数据中随机选取两年的数据，设
为蓄水量超过33亿立方米的年份个数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅲ）由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？（结论不要求证明）
| 年份 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
| 蓄水量（亿立方米） | 11.25 | 13.25 | 13.58 | 17.4 | 12.4 | 12.1 | 18.3 | 26.5 | 34.3 | 34.1 |
（Ⅱ）从2014年至2019年的样本数据中随机选取两年的数据，设
为蓄水量超过33亿立方米的年份个数，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅲ）由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？（结论不要求证明）
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2021-01-23更新
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636次组卷
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6卷引用：四川省双流中学2021-2022学年高三上学期11月月考数学（理）试题
四川省双流中学2021-2022学年高三上学期11月月考数学（理）试题北京市西城区2021届高三上学期数学期末试题（已下线）大题专练训练42：随机变量的分布列（超几何分布1）-2021届高三数学二轮复习北京市北京师范大学附属中学2022届高三10月月考数学试题北京市第四十四中学2023届高三上学期10月月考数学试题北京市顺义区杨镇第一中学2023届高三上学期10月月考数学试题
名校
7 . 三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2
勾股+（股-勾）
=4朱实+黄实=弦实，化简，得勾+股=弦，设勾股中勾股比为
，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在红（朱）色图形内的图钉数大约为（ ）（参考数据：
）
勾股+（股-勾）=4朱实+黄实=弦实，化简，得勾+股=弦，设勾股中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在红（朱）色图形内的图钉数大约为（ ）（参考数据：）| A．866 | B．500 | C．300 | D．134 |
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2021-03-13更新
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599次组卷
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26卷引用：四川省宜宾市第四中学校2020届高三下学期第四学月考试数学（文）试题
四川省宜宾市第四中学校2020届高三下学期第四学月考试数学（文）试题2017届河南省安阳市高三第一次模拟考试数学（文）试卷辽宁省锦州市2017届高三质量检测（一）数学（理）试题辽宁省锦州市2017届高三质量检测（一）数学（文）试题【全国百强校】安徽省六安市第一中学2018届高三下学期适应性考试数学（文）试题【全国百强校】山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试数学（理）试题【全国百强校】山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试数学（文）试题【市级联考】内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试（一）数学（理工类）试题2017届河南省安阳市高三第一次模拟考试数学（理）试卷12017届河南省安阳市高三第一次模拟考试数学（理）试卷2山西省大同市2020届高三开学学情调研测试试题理科数学2019年10月广东省广州市天河区高考数学一模（文）试题（已下线）11.高考新题型[文] -《备战2020年高考精选考点专项突破题集》专题11 高考新题型［理］-《备战2020年高考精选考点专项突破题集》2019届安徽省安庆一中高三下学期6月第四次模拟考试数学(文)试题2020届湖南省岳阳市高三第二次模拟数学(文)试题2019届内蒙古呼伦贝尔市海拉尔区高考模拟统一考试卷(一)文科数学试题2019届湖南省怀化市高三第二次模拟数学(文)试题（已下线）河南省安阳市2017届高三第一次模拟考试数学（文）试题广西南宁第三中学2020-2021学年度高二上学期段考理科数学试题安徽省滁州市定远县重点中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学(理)试题广西南宁市第三中学2020-2021学年高二上学期期中段考数学（文）试题广西南宁市第三中学2020-2021学年高二上学期期中段考数学（理）试题黑龙江省大庆市铁人中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题（已下线）练习9 2021年高考数学二轮小题专练（新高考）黑龙江省大庆铁人中学2021届高三第四次模拟考试数学（理）试题
名校
8 . “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角
，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）
，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）A． | B． | C． | D． |
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2020-10-23更新
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625次组卷
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27卷引用：四川省南充高级中学2018届高三9月检测数学（文）试题
四川省南充高级中学2018届高三9月检测数学（文）试题【市级联考】四川省广元市2019届高三第一次高考适应性统考数学试题（理工类）2017届重庆巴蜀中学高三文12月月考数学试卷吉林省吉林大学附属中学2017届高三第五次摸底考试数学（理）试题山东省烟台市2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题湖北省襄阳市第四中学2017届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题广东省韶关市2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题湖南省长沙市长郡中学2018届高三月考试题（二）数学（理科）试题河南省商丘市第一高级中学2017-2018学年高二10月月考数学（文）试题河南省商丘市第一高级中学2017-2018学年高二10月月考数学（理）试题广东清远市2017-2018学年高二第一学期末质量检测理科数学试题安徽省芜湖市2018届高三上学期期末考试（一模）理科数学试题东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2018届高三第二次模拟考试数学（文）试题辽宁省六校协作体2017-2018学年高二下学期期中考试数学（文）试卷【全国百强校】北京市人大附中2019届高三高考模拟预测考试一数学试题【校级联考】闽粤赣三省十校2019届高三下学期联考数学（文）试题【全国百强校】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高二下学期第二次月考数学（理）试题河南省郑州市四中2017-2018学年高一下学期第一次月考数学试题2019届湖北省黄冈中学、华师一附中、襄阳四中、襄阳五中、荆州中学等八校高三第二次联考数学(理)试题广东省广州市天河区2018-2019学年高二上学期期末数学（理）试题湖南省长沙市雨花区2017-2018学年高一下学期期末数学试题江西省新余市第四中学2021届高三上学期第一次段考数学（理）试题福建省莆田第十五中学2019届高三上学期期中考试数学理科试题（已下线）专题12 几何概型（客观题）-2021年高考数学（理）二轮复习热点题型精选精练（已下线）专题12 几何概型（客观题）-2021年高考数学（文）二轮复习热点题型精选精练（已下线）专题11 几何概型（客观题）-2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）陕西省西安市铁一中学2020-2021学年高三上学期第四次月考理科数学试题
解题方法
9 . 下图是某地5月1日至15日日平均温度变化的折线图，日平均温度高于20度低于27度时适宜户外活动，某人随机选择5月1日至5月14日中的某一天到达该地停留两天（包括到达当日）．
（1）求这15天日平均温度的极差和均值；
（2）求此人停留期间只有一天的日平均温度适宜户外活动的概率；
（3）由折线图判断从哪天开始连续三天日平均温度的方差最大?（写出结论，不要求证明）
（1）求这15天日平均温度的极差和均值；
（2）求此人停留期间只有一天的日平均温度适宜户外活动的概率；
（3）由折线图判断从哪天开始连续三天日平均温度的方差最大?（写出结论，不要求证明）
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2020-07-08更新
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252次组卷
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2卷引用：四川省成都市第七中学2020-2021学年高三下学期入学考试文科数学试题
名校
10 . 我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形．设直角三角形中一个锐角的正切值为3．在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是
A． | B． | C． | D． |
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2019-10-09更新
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882次组卷
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12卷引用：【市级联考】四川省泸州市2019届高三第二次教学质量诊断性考试数学（理）试题
【市级联考】四川省泸州市2019届高三第二次教学质量诊断性考试数学（理）试题【市级联考】四川省泸州市2019届高三二诊数学（理科）试题四川省内江市第六中学2021-2022学年高三上学期第二次（9月）月考文科数学试题山东省聊城市2018届高三一模数学（文）试题山东省聊城市2018届高三第一次模拟数学（理）试题广西陆川县中学2018届高三3月月考数学（文）试题【市级联考】陕西省渭南市 2019届高三数学质量检测1文科数学试题河北省承德市隆化县存瑞中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试题（已下线）2019年11月24日《每日一题》一轮复习理数-每周一测湖南省长沙市第一中学2018-2019学年高三下学期第九次月考数学(理)试题广东省汕头市2019-2020学年高二下学期期末数学试题（已下线）第十章概率（知识通关）(2)【单元测试卷】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（人教A版2019必修第二册)
