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1 . 在某抽奖活动中，初始时的袋子中有3个除颜色外其余都相同的小球，颜色为2白1红．每次随机抽取一个小球后放回．抽奖规则如下：设定抽中红球为中奖，抽中白球为未中奖；若抽到白球，放回后把袋中的一个白色小球替换为红色；若抽到红球，放回后把三个球的颜色重新变为2白1红的初始状态．记第n次抽奖中奖的概率为
．
(1)求
，
；
(2)若存在实数a，b，c，对任意的不小于4的正整数n，都有
，试确定a，b，c的值，并证明上述递推公式；
(3)若累计中奖4次及以上可以获得一枚优胜者勋章，则从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为多少？
．(1)求
，；(2)若存在实数a，b，c，对任意的不小于4的正整数n，都有
，试确定a，b，c的值，并证明上述递推公式；(3)若累计中奖4次及以上可以获得一枚优胜者勋章，则从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为多少？
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2024高二下·全国·专题练习
2 . 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
从该地的人群中任选一人，
表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”， 
表示事件“选到的人患有该疾病”， 
与
的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为
.
(1)证明
；
(2)利用该调查数据，给出
，
的估计值，并利用（1）的结果给出的估计值.
不够良好 | 良好 | |
病例组 | 40 | 60 |
对照组 | 10 | 90 |
表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”， 表示事件“选到的人患有该疾病”， 与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为.(1)证明
；(2)利用该调查数据，给出
，的估计值，并利用（1）的结果给出的估计值.
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3 . 本届杭州亚运会是首届采用云上转播的亚运会，预计在云上传输最大60路高清和超高清信号，某企业负责生产所需的某种高清转播设备，设生产该款设备的次品率为
（
），且各套设备的生产互不影响．
(1)生产该款设备需要两道工序，且互不影响，假设每道工序的次品率依次为
．
①求；
②现对该企业生产的设备进行自动智能检测，自动智能检测为次品（注：合格品不会被误检成次品）的设备会被自动淘汰，若自动智能检测为合格，则再进行人工抽检，已知自动智能检测显示该款设备的合格率为96%，求人工抽检时，抽检的一套设备是合格品的概率．
(2)视为概率，记从该企业生产的设备中随机抽取
套，其中恰含
（
）个次品的概率为
，求证：在
时取得最大值．
（），且各套设备的生产互不影响．(1)生产该款设备需要两道工序，且互不影响，假设每道工序的次品率依次为
．①求
；②现对该企业生产的设备进行自动智能检测，自动智能检测为次品（注：合格品不会被误检成次品）的设备会被自动淘汰，若自动智能检测为合格，则再进行人工抽检，已知自动智能检测显示该款设备的合格率为96%，求人工抽检时，抽检的一套设备是合格品的概率．
(2)视
为概率，记从该企业生产的设备中随机抽取套，其中恰含（）个次品的概率为，求证：在时取得最大值．
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2023-11-19更新
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412次组卷
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4卷引用：江西省吉安市吉州区吉安一中2023-2024学年高三上学期期中数学试题
江西省吉安市吉州区吉安一中2023-2024学年高三上学期期中数学试题（已下线）模块二 专题5 概率中的创新问题（已下线）专题04 超几何分布+二项分布+正态分布压轴题（1）山东省菏泽市第一中学南京路校区2024届高三下学期2月月考数学试题
2024高三·全国·专题练习
4 . 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，
与
的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.
① 证明：R＝
·
；
② 利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|
)的估计值，并利用①的结果给出R的估计值．
| 不够良好 | 良好 | |
| 病例组 | 40 | 60 |
| 对照组 | 10 | 90 |
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，
与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.① 证明：R＝
·；② 利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|
)的估计值，并利用①的结果给出R的估计值．
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5 . 某人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面的概率都是
，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、……、第100站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站（从k到k+1）；若掷出反面，棋子向前跳两站（从k到k+2），直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束.设棋子跳到第站的概率为.
(1)求
的值；
(2)求证：
，其中
；
(3)求玩该游戏获胜的概率及失败的概率.
，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、……、第100站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站（从k到k+1）；若掷出反面，棋子向前跳两站（从k到k+2），直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束.设棋子跳到第站的概率为.(1)求
的值；(2)求证：
，其中；(3)求玩该游戏获胜的概率及失败的概率.
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2023高三·全国·专题练习
解题方法
6 . 每年8月8日为我国的全民健身日，倡导大家健康、文明、快乐的生活方式．为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动．为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育锻炼活动时间(单位:分钟)，得到下表：
(1)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育锻炼活动时间在
的概率；
(2)从参加体育锻炼活动时间在
和
的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
(3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育锻炼活动时间的平均数记为
，初中、高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为
．写出一个m的值，使得
(结论不要求证明)
(1)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育锻炼活动时间在
的概率；(2)从参加体育锻炼活动时间在
和的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望；(3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育锻炼活动时间的平均数记为
，初中、高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为．写出一个m的值，使得(结论不要求证明)
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7 . 一位外地游客到永州市旅游，其游览阳明山、九疑山、舜皇山这3个著名景点的概率分别为0.5，0.5，0.6，且该游客是否游览哪个景点互不影响．设C表示该游客对上述3个景点游览的景点数与没有游览的景点数的差．
(1)记“
”为事件A，求
的值．
(2)记“函数
，在区间
上单调递增”为事件B，求
的值．
（函数的单调性只需判断，不要求证明）
(1)记“
”为事件A，求的值．(2)记“函数
，在区间上单调递增”为事件B，求的值．（函数的单调性只需判断，不要求证明）
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8 . 在信道内传输0， 1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为
， 收到1的概率为
.
(1)重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；
(2)依次发送1，1， 0， 判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号； ②事件B：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明.
，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为， 收到1的概率为.(1)重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；
(2)依次发送1，1， 0， 判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号； ②事件B：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明.
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2023-11-07更新
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1018次组卷
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5卷引用：浙江省杭州第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
浙江省杭州第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题上海市上海中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（已下线）专题05 统计与概率-【常考压轴题】（已下线）第十章 概率（压轴题专练）-单元速记·巧练（人教A版2019必修第二册）（已下线）专题10.2 事件的相互独立性-举一反三系列（人教A版2019必修第二册）
名校
9 . 现有4个除颜色外完全一样的小球和3个分别标有甲、乙、丙的盒子，将4个球全部随机放入三个盒子中（允许有空盒）．
(1)记盒子乙中的小球个数为随机变量
，求的数学期望；
(2)对于两个不互相独立的事件
，若
，称
为事件的相关系数．
①若
，求证：
；
②若事件
盒子乙不空，事件
至少有两个盒子不空，求
．
(1)记盒子乙中的小球个数为随机变量
，求的数学期望；(2)对于两个不互相独立的事件
，若，称为事件的相关系数．①若
，求证：；②若事件
盒子乙不空，事件至少有两个盒子不空，求．
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2023-05-29更新
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652次组卷
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3卷引用：重庆市南开中学校2023届高三第十次质量检测数学试题
10 . 果酒由水果本身的糖分被酵母菌发酵而成.研究表明，果酒中的芳香气味主要来自于酯类化合物.某学习小组在实验中使用了3种不同的酵母菌（A型，B型，C型）分别对三组（每组10瓶）相同的水果原液进行发酵，一段时间后测定发酵液中某种酯类化合物的含量，实验过程中部分发酵液因被污染而废弃，最终得到数据如下（“X”表示该瓶发酵液因废弃造成空缺）：
根据发酵液中该酯类化合物的含量t（μg/L）是否超过某一值来评定其品质，其标准如下：
假设用频率估计概率
(1)从样本未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，求其品质高的概率；
(2)设事件D为“从样本含A型，B型,C型酵母菌的未废弃的发酵液中各随机抽取一瓶，这三瓶中至少有一瓶品质高”，求事件D发生的概率
；
(3)设事件E为“从样本未废弃的发酵液中不放回地随机抽取三瓶，这三瓶中至少有一瓶品质高”试比较事件E发生的概率
与（2）中事件D发生的概率的大小.（结论不要求证明）
酵母菌类型 | 该酯类化合物的含量（μg/L） | |||||||||
A型 | X | 2747 | 2688 | X | X | 2817 | 2679 | X | 2692 | 2721 |
B型 | 1151 | X | 1308 | X | 994 | X | X | X | 1002 | X |
C型 | 2240 | X | X | 2340 | 2318 | X | 2519 | 2162 | X | X |
酵母菌类型 | 品质高 | 品质普通 |
A型 |
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B型 |
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C型 |
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(1)从样本未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，求其品质高的概率；
(2)设事件D为“从样本含A型，B型,C型酵母菌的未废弃的发酵液中各随机抽取一瓶，这三瓶中至少有一瓶品质高”，求事件D发生的概率
；(3)设事件E为“从样本未废弃的发酵液中不放回地随机抽取三瓶，这三瓶中至少有一瓶品质高”试比较事件E发生的概率
与（2）中事件D发生的概率的大小.（结论不要求证明）
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2023-05-05更新
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933次组卷
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3卷引用：北京市朝阳区2023届高三二模数学试题
