1 . 如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径．
(1)证明：平面平面;
(2)设,在圆柱内随机选取一点，记该点取自三棱柱内的概率为.
（i）当点C在圆周上运动时，求的最大值；
（ii）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值．

2 . 如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且是圆直径．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）设，在圆柱内随机选取一点，记该点取自于三棱柱内的概率为．
（i）当点在圆周上运动时，求的最大值；
（ii）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值．

3 . 如图，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E，H分别是棱A₁B₁，D₁C₁上的点（点E与B₁不重合），且EH∥A₁ D₁. 过EH的平面与棱BB₁，CC₁相交，交点分别为F，G．

（I） 证明：AD∥平面EFGH；
（II） 设AB=2AA₁ =2a .在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁内随机选取一点．记该点取自几何体A₁ABFE-D₁DCGH内的概率为p，当点E，F分别在棱A₁B₁上运动且满足EF=a时，求p的最小值.

4 .
如图，圆柱OO₁内有一个三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径．
（Ⅰ）证明：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）
（i）设AB=AA₁．在圆柱OO₁内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC-A₁B₁C₁内的概率为P，当点C在圆周上运动时，求P的最大值；
（ii）记平面A₁ACC₁与平面B₁OC所成的角为（0°<90°）．当P取最大值时，求cos的值．