1 . 某商场为庆祝开业十周年，开展了为期一个月的有奖促销活动，消费者一次性消费满200元，即可参加抽奖活动．抽奖盒子中装有大小相同的2个黄球和2个白球，规则如下：每次从盒子中任取两个球，若取到的两个球均为黄球，则中奖并获得奖品一份，活动结束；否则将取出的两个球放回盒中，并再放入一个大小相同的红球，按上述规则，重复抽奖，参加抽奖的消费者最多进行三次，即使第三次没有中奖，抽奖也会结束．
(1)现某消费者一次性消费200元，记其参加抽奖的次数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(2)随着抽奖活动的有效开展，参加抽奖活动的人数越来越多，表示第天参加抽奖活动的人数，该商场对活动前5天参加抽奖活动的人数进行统计，得到数据如下：

第天	1	2	3	4	5
人数

经过进一步统计分析，发现与具有线性相关关系．
（i）计算相关系数，并说明与的线性相关程度的强弱；（结果精确到0.01）
（ii）请用最小二乘法求出关于的经验回归方程，并据此估计第10天参加抽奖的消费者人数．
附：①相关系数：
最小二乘估计分别为：
②参考数据：．

2 . 已知，在平面直角坐标系中有一个点阵，点阵中所有点的集合为，从集全中任取两个不同的点，用随机变量表示它们之间的距离．
(1)当时，求的分布列及期望．
(2)对给定的正整数．
（ⅰ）求随机变量的所有可能取值的个数（用含有的式子表示）；
（ⅱ）求概率（用含有的式子表示）．

3 . 某地5家超市春节期间的广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下：

超市	A	B	C	D	E
广告支出x	2	4	5	6	8
销售额y	30	40	60	60	70

(1)从A，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为X，求随机变量X的分布列及期望；
(2)利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额．
附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．

4 . 某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束．
已知A团队每位成员闯过第一关和第二关的概率均为，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响．
(1)用随机变量X表示A团队第位成员的闯关数，求X的分布列；
(2)已知A团队第位成员上场并闯过第二关，求恰好是第3位成员闯过第一关的概率；
(3)记随机变量表示A团队第位成员上场并结束闯关活动，证明单调递增，并求使的n的最大值．

5 . 甲、乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲､乙各射击一次，甲､乙每次至少射中8环.根据统计资料可知，甲击中8环､9环､10环的概率分别为，乙击中8环､9环､10环的概率分别为，且甲､乙两人射击相互独立.
(1)在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；
(2)若独立进行三场比赛，其中X场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求的分布列与数学期望.

6 . 年元旦将至，国产影片与国外好莱坞大片同时上映，广大网民，对喜爱的电影进行投票某平台为了解观众对影片的选择情况情况仅有“国产”“国外”，从平台所有观众中随机抽取200人进行调查，数据如下表所示单位：人
(1)把列联表补充完整，试根据小概率值的独立性检验分析对影片的选择情况是否与性别有关；
(2)若将频率视为概率，从抽取的200人中所有给出“国产”的观众中随机抽取人，用随机变量表示被抽到的女性观众的人数，求的分布列和数学期望．

	国产	国外	合计
男性		40
女性	80
合计			200

参考公式：，其中．
参考数据

8 . 根据长期生产经验，某种零件的一条生产线在设备正常状态下，生产的产品正品率为．为了监控该生产线生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取个零件，并测量其质量，规定：抽检的件产品中，若至少出现件次品，则认为设备出现了异常情况，需对设备进行检测及修理．
(1)假设设备正常状态，记表示一天内抽取的件产品中的次品件数，求，并说明上述监控生产过程规定的合理性；
(2)该设备由甲、乙两个部件构成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若只有一个部件出现故障，则设备出现异常．已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为，由乙部件故障造成的概率为．若设备出现异常，需先检测其中一个部件，如果确认该部件出现故障，则进行修理，否则，继续对另一部件进行检测及修理．已知甲部件的检测费用元，修理费用元，乙部件的检测费用元，修理费用元．当设备出现异常时，仅考虑检测和修理总费用，应先检测甲部件还是乙部件，请说明理由.
参考数据：，，．

9 . 在一次考试中某班级50名学生的成绩统计如表，规定75分以下为一般，大于等于75分小于85分为良好，85分及以上为优秀.

分数	69	73	74	75	77	78	79	80
人数	2	4	4	2	3	4	6	3
分数	82	83	85	87	89	93	95	合计
人数	3	4	4	5	2	3	1	50

经计算样本的平均值，标准差.为评判该份试卷质量的好坏，从其中任取一人，记其成绩为，并根据以下不等式进行评判.
①；②；③.
评判规则：若同时满足上述三个不等式，则被评为优秀试卷；若仅满足其中两个不等式，则被评为合格试卷；其他情况，则被评为不合格试卷.
(1)试判断该份试卷被评为哪种等级；
(2)按分层随机抽样的方式从3个层次的学生中抽出10名学生，再从抽出的10名学生中随机抽出4人进行学习方法交流，用随机变量表示4人中成绩优秀的人数，求随机变量的分布列和均值.

10 . 近些年天然气使用逐渐普及，为了百姓能够安全用气，国务院办公厅2022年6月印发《城市燃气管道等老化更新改造实施方案（2022－2025年）》，为了更具有针对性，某市在实施管道老化更新的过程中，从本市某社区500个家庭中随机抽取了个家庭燃气使用情况进行调查，统计这个家庭燃气使用量（单位：m³），得到如下频数分布表（第一行是燃气使用量，第二行是频数），并将这一个月燃气使用量超过22 m³的家庭定为“超标”家庭．

8	14	16	30	16	12	4

(1)估计该社区这一个月燃气使用量的平均值；
(2)若该社区这一个月燃气使用量大致服从正态分布，其中近似为个样本家庭的平均值（精确到m³），估计该社区中“超标”家庭的户数；
(3)根据原始样本数据，在抽取的个家庭中，这一个月共有个“超标”家庭，市政府决定从这8个“超标”家庭中任选个跟踪调查其使用情况．设这一个月燃气使用量不小于m³的家庭个数为，求的分布列和数学期望．
附：若服从正态分布，则，
，.