1 . 某无缝钢管厂只生产甲、乙两种不同规格的钢管，钢管有内外两个口径，甲种钢管内外两口径的标准长度分别为和，乙种钢管内外两个口径的标准长度分别为和.根据长期的生产结果表明，两种规格钢管每根的长度都服从正态分布，长度在之外的钢管为废品，要回炉熔化，不准流入市场，其他长度的钢管为正品.
（1）在该钢管厂生产的钢管中随机抽取10根进行检测，求至少有1根为废品的概率；
（2）监管部门规定每种规格钢管的“口径误差”的计算方式为：若钢管的内外两个口径实际长分别为，标准长分别为，则“口径误差”为，按行业生产标准，其中“一级品”“二级品”“合格品”的“口径误差”的范围分别是（正品钢管中没有“口径误差”大于的钢管），现分别从甲、乙两种产品的正品中各随机抽取100根，分别进行“口径误差”的检测，统计后，绘制其频率分布直方图如图所示：

已知经销商经销甲种钢管，其中“一级品”的利润率为0.3，“二级品”的利润率为0.18，“合格品”的利润率为0.1；经销乙种钢管，其中“一级品”的利润率为0.25，“二级品”的利润率为0.15，“合格品”的利润率为0.08，若视频率为概率.
（ⅰ）若经销商对甲、乙两种钢管各进了100万元的货，和分别表示经销甲、乙两种钢管所获得的利润，求和的数学期望和方差，并由此分析经销商经销两种钢管的利弊；
（ⅱ）若经销商计划对甲、乙两种钢管总共进100万元的货，则分别在甲、乙两种钢管上进货多少万元时，可使得所获利润的方差和最小？
附：若随机变量服从正态分布，则，，，.

2 . 《中国诗词大会》是由CCTV-10自主研发的一档大型文化益智节目,以“赏中华诗词,寻文化基因品生活之美”为宗旨,带动全民重温经典、从古人的智慧和情怀中汲取营养、涵养心灵,节目广受好评还因为其颇具新意的比赛规则:每场比赛,106位挑战者全部参赛,分为单人追逐赛和擂主争霸赛两部分单人追逐赛的最终优胜者作为攻擂者与守擂擂主进行比拼,竞争该场比赛的擂主,擂主争霸赛以抢答的形式展开,共九道题,抢到并回答正确者得一分,答错则对方得一分,先得五分者获胜,成为本场擂主,比赛结束已知某场擂主争霸赛中,攻擂者与守擂擂主都参与每一次抢题且两人抢到每道题的概率都是,攻擂者与守擂擂主正确回答每道题的概率分别为,,且两人各道题是否回答正确均相互独立.
（1）比赛开始,求攻擂者率先得一分的概率;
（2）比赛进行中,攻擂者暂时以领先,设两人共继续抢答了道题比赛结束,求随机变量的分布列和数学期望.

3 . 某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为五个等级，确定各等级人数所占比例分别为，，，，，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到、、、、五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：

等级
比例
赋分区间

而等比例转换法是通过公式计算：
其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，、分别表示等级分区间的最低分和最高分，表示原始分，表示转换分，当原始分为，时，等级分分别为、
假设小南的化学考试成绩信息如下表：

考生科目	考试成绩	成绩等级	原始分区间	等级分区间
化学	75分	等级

设小南转换后的等级成绩为，根据公式得：，
所以（四舍五入取整），小南最终化学成绩为77分.
已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得等级的学生原始成绩统计如下表：

成绩	95	93	91	90	88	87	85
人数	1	2	3	2	3	2	2

（1）从化学成绩获得等级的学生中任取2名，求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率；
（2）从化学成绩获得等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为，求的分布列和期望.

4 . 某校为提高课堂教学效果，最近立项了市级课题《高效课堂教学模式及其运用》，其中王老师是该课题的主研人之一，为获得第一手数据，她分别在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验.为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分为“成绩优良”.

（1）由以上统计数据填写下面列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？

	甲班	乙班	总计
成绩优良
成绩不优良
总计

（2）从甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下（不含60分）的学生中任意选取2人，记来自甲班的人数为，求的分布列与数学期望.
附：（其中）

5 . 我市准备实施天然气价格阶梯制，现提前调查市民对天然气价格阶梯制的态度，随机抽查了名市民，现将调查情况整理成了被调查者的频率分布直方图（如图）和赞成者的频数表如下：

年龄（岁）
赞成人数

（1）若从年龄在，的被调查者中各随机选取人进行调查，求所选取的人中至少有人对天然气价格阶梯制持赞成态度的概率；
（2）若从年龄在，的被调查者中各随机选取人进行调查，记选取的人中对天然气价格实施阶梯制持不赞成态度的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.

6 . 某地为了调查市民对“一带一路”倡议的了解程度，随机选取了名年龄在岁至岁的市民进行问卷调查，并通过问卷的分数把市民划分为了解“一带一路”倡议与不了解“一带一路”倡议两类.得到下表：

年龄
调查人数/名
了解“一带一路”倡议/名

（I）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为以岁为分界点对“一带一路”倡议的了解有差异（结果精确到）；

	年龄低于岁的人数	年龄不低于岁的人数	合计
了解
不了解
合计

（Ⅱ）以频率估计概率，若在该地选出名市民（年龄在岁至岁），记名市民中了解“一带一路”倡议的人数为，求随机变量的分布列，数学期望和方差.
附：，其中.

7 . 在习总书记提出的“变害为利，造福人民”的木兰溪全流域治理系统过程中，莆田市环保局根据水文观测点的历史统计数据，得到木兰溪某段流域的每年最高水位（单位：米）的频率分布直方图（如图）.若将河流最高水位落入各组的频率视为概率，并假设每年河流最高水位相互独立．

（1）求在未来3年里，至多有1年河流最高水位的概率（结果用分数表示）；
（2）根据评估，该流域对沿河企业影响如下：当时，不会造成影响；当时，损失1000万元；当时，损失6000万元．为减少损失，莆田市委在举行的一次治理听证会上产生了三种应对方案：
方案一：布置能防御35米最高水位的工程，需要工程费用380万元；
方案二：布置能防御31米最高水位的工程，需要工程费用200万元；
方案三：不采取措施；
试问哪种方案更好，请说明理由．

8 . 一个不透明的盒子中关有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三种昆虫共11只，现在盒子上开一小孔，每次只能飞出1只昆虫(假设任意1只昆虫等可能地飞出)．若有2只昆虫先后任意飞出(不考虑顺序)，则飞出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是.
(1)求盒子中蜜蜂有几只；
(2)若从盒子中先后任意飞出3只昆虫(不考虑顺序)，记飞出蜜蜂的只数为X，求随机变量X的分布列与数学期望E(X)．

9 . 甲、乙两家物流公司都需要进行货物中转，由于业务量扩大，现向社会招聘货车司机，其日工资方案如下：甲公司，底薪80元，司机每中转一车货物另计4元：乙公司无底薪，中转40车货物以内（含40车）的部分司机每车计6元，超出40车的部分司机每车计7元．假设同一物流公司的司机一填中转车数相同，现从这两家公司各随机选取一名货车司机，并分别记录其50天的中转车数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表

送餐单数	38	39	40	41	42
天数	10	15	10	10	5

乙公司送餐员送餐单数频数表

送餐单数	38	39	40	41	42
天数	5	10	10	20	5

（1）现从记录甲公司的50天货物中转车数中随机抽取3天的中转车数，求这3天中转车数都不小于40的概率；
（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：
①记乙公司货车司机日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望E（X）；
②小王打算到甲、乙两家物流公司中的一家应聘，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．

10 . 有一片产量很大的水果种植园，在临近成熟时随机摘下某品种水果100个，其质量（均在1至）频数分布表如下（单位：）：

分组
频数	10	30	40	15	5

以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率.
（1）由种植经验认为，种植园内的水果质量近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，.请估计该种植园内水果质量在内的百分比；
（2）现在从质量为，，的三组水果中，用分层抽样方法抽取8个水果，再从这8个水果中随机抽取2个.若水果质量在，，的水果每销售一个所获得的利润分别为2元，4元，6元，记随机抽取的2个水果总利润为元，求的分布列和数学期望.
附：若服从正态分布，则，.