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1 . 从甲、乙、丙、丁4人中随机抽取3个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人,每次必须将球传出.
(1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量,求的分布列;
(2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练,且第1次由甲将球传出,记次传球后球在甲手中的概率为,.
①直接写出,,的值;
②求与的关系式(),并求().
(1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量,求的分布列;
(2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练,且第1次由甲将球传出,记次传球后球在甲手中的概率为,.
①直接写出,,的值;
②求与的关系式(),并求().
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2 . 某项团体比赛分为两轮:第一轮由团队队员轮流与AI人工智能进行比赛.若挑战成功,参加第二轮攻擂赛与上任擂主争夺比赛胜利.现有甲队参加比赛,队中共3名事先排好顺序的队员参加挑战.
(1)第一轮与对战,比赛的规则如下:若某队员第一关闯关成功,则该队员继续闯第二关,否则该队员结束闯关并由下一位队员接力去闯第一关,若某队员第二关闯关成功,则该团队接力闯关活动结束,否则该成员结束闯关并由下一位队员接力去闯第二关;当第二关闯关成功或所有队员全部上场参加了闯关,该队挑战活动结束.已知甲队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为,,且每位成员闯关是否成功互不影响,每关结果也互不影响.用表示甲队闯关活动结束时上场闯关的成员人数,求的期望;
(2)甲队已经顺利进入第二轮,现和擂主乙队号队员进行比赛,规则为:双方先由1号队员比赛,负者被淘汰,胜者再与负方2号队员比赛直到有一方队员全被淘汰,另一方获得胜利.已知,甲队三名队员每场比赛的胜率分别为:,,,若要求甲队获胜的概率大于,问是否满足?请说明理由.
(1)第一轮与对战,比赛的规则如下:若某队员第一关闯关成功,则该队员继续闯第二关,否则该队员结束闯关并由下一位队员接力去闯第一关,若某队员第二关闯关成功,则该团队接力闯关活动结束,否则该成员结束闯关并由下一位队员接力去闯第二关;当第二关闯关成功或所有队员全部上场参加了闯关,该队挑战活动结束.已知甲队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为,,且每位成员闯关是否成功互不影响,每关结果也互不影响.用表示甲队闯关活动结束时上场闯关的成员人数,求的期望;
(2)甲队已经顺利进入第二轮,现和擂主乙队号队员进行比赛,规则为:双方先由1号队员比赛,负者被淘汰,胜者再与负方2号队员比赛直到有一方队员全被淘汰,另一方获得胜利.已知,甲队三名队员每场比赛的胜率分别为:,,,若要求甲队获胜的概率大于,问是否满足?请说明理由.
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3 . 随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中,粒子从原点出发,每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位,且向四个方向移动的概率均为 例如在1秒末,粒子会等可能地出现在四点处.
(1)设粒子在第2秒末移动到点,记的取值为随机变量 ,求 的分布列和数学期望;
(2)记第秒末粒子回到原点的概率为.
(i)已知 求 以及;
(ii)令,记为数列的前项和,若对任意实数,存在,使得,则称粒子是常返的.已知 证明:该粒子是常返的.
(1)设粒子在第2秒末移动到点,记的取值为随机变量 ,求 的分布列和数学期望;
(2)记第秒末粒子回到原点的概率为.
(i)已知 求 以及;
(ii)令,记为数列的前项和,若对任意实数,存在,使得,则称粒子是常返的.已知 证明:该粒子是常返的.
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4 . 甲口袋中装有2个黑球和1个白球,乙口袋中装有1个黑球和2个白球.设从甲、乙两个口袋中各任取一个球交换放入另一个口袋为一次操作,经过次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为.
(1)写出的分布列并计算;
(2)某人重复进行了100次操作,记,,求该数列的前100项和的最大值;
(3)定性分析当交换次数趋向于无穷时,趋向的值.
(1)写出的分布列并计算;
(2)某人重复进行了100次操作,记,,求该数列的前100项和的最大值;
(3)定性分析当交换次数趋向于无穷时,趋向的值.
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5 . 情报是仅含0和1两种的k位数据,例如11001. 情报传输时要经过n个信号站,每经过一个信号站,每位数字0传错为1的概率为,每位数字1传错为0的概率为,其中,在各次传输过程中,情报中各数字相互独立,且传输中无其他错误发生. 情报经过n个信号站传输后的情报为,设与完全相同的概率为,与中有个对应位置数字取值相等.
(1)若,,求的分布列;
(2)若,证明的数学期望与n无关;
(3)若,且,证明:. 若将改为,判断是否仍有恒成立,并说明理由.
(1)若,,求的分布列;
(2)若,证明的数学期望与n无关;
(3)若,且,证明:. 若将改为,判断是否仍有恒成立,并说明理由.
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6 . 每年的 3 月 14 日是“国际圆周率日”,这是为纪念中国古代数学家祖冲之发现圆周率而设立的.2024 年 3月 14日,某班级为纪念这个日子,特举办数学题答题比赛. 已知赛题共 6道(各不相同),其中 3 道为高考题,另 3 道为竞赛题,参赛者依次不放回地从 6 道赛题中随机抽取一题进行作答,答对则继续,答错(或不答) 或者 6道题都答对即停止并记录答对题数.
(1)举办方进行模拟抽题,设第次为首次抽到竞赛题,求的分布列;
(2)同学数学成绩优异,但没有参加过竞赛培训,高考题答对的概率为,竞赛题答对的概率为.
①求同学停止答题时答对题数为1的概率;
②已知同学停止答题时答对题数为2,求这两题抽到竞赛题题数的均值.
(1)举办方进行模拟抽题,设第次为首次抽到竞赛题,求的分布列;
(2)同学数学成绩优异,但没有参加过竞赛培训,高考题答对的概率为,竞赛题答对的概率为.
①求同学停止答题时答对题数为1的概率;
②已知同学停止答题时答对题数为2,求这两题抽到竞赛题题数的均值.
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2024高三·全国·专题练习
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7 . 在三维空间中,立方体的坐标可用三维坐标表示,其中.而在n维空间中,以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标,其中.现有如下定义:在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和,即为.回答下列问题:
(1)求出n维“立方体”的顶点数;
(2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点,记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离
①求出X的分布列与期望;
②证明:在n足够大时,随机变量X的方差小于.
(1)求出n维“立方体”的顶点数;
(2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点,记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离
①求出X的分布列与期望;
②证明:在n足够大时,随机变量X的方差小于.
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8 . 某校开展科普知识团队接力闯关活动,该活动共有两关,每个团队由位成员组成,成员按预先安排的顺序依次上场,具体规则如下:若某成员第一关闯关成功,则该成员继续闯第二关,否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关;若某成员第二关闯关成功,则该团队接力闯关活动结束,否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关;当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关,该团队接力闯关活动结束.已知团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为和,且每位成员闯关是否成功互不影响,每关结果也互不影响.
(1)若,用表示团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数,求的均值;
(2)记团队第位成员上场且闯过第二关的概率为,集合中元素的最小值为,规定团队人数,求.
(1)若,用表示团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数,求的均值;
(2)记团队第位成员上场且闯过第二关的概率为,集合中元素的最小值为,规定团队人数,求.
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2024-04-07更新
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3007次组卷
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2卷引用:广东省广州市2024届普通高中毕业班综合测试(一)数学试卷
9 . 某档电视节目举行了关于“中国梦”的知识竞赛,规则如下:选手每两人一组,同一组的两人以抢答的方式答题,抢到并回答正确得1分,答错则对方得1分,比赛进行到一方比另一方净胜2分结束,且多得2分的一方最终胜出.已知甲、乙两名选手分在同一组,两人都参与每一次抢题,且每次抢到题的概率都为.甲、乙两人每道题答对的概率分别为,,并且每道题两人答对与否相互独立,假设准备的竞赛题足够的多.
(1)求第二题答完比赛结束的概率;
(2)求知识竞赛结束时,抢答题目总数的期望.
(1)求第二题答完比赛结束的概率;
(2)求知识竞赛结束时,抢答题目总数的期望.
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10 . “绿色出行,低碳环保”的理念已经深入人心,逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行,低碳环保”号召,他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响,其中,甲每天选择“共享单车”的概率为,乙每天选择“共享单车”的概率为,丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为,从第二天起,若前一天选择“共享单车”,后一天继续选择“共享单车”的概率为,若前一天选择“地铁”,后一天继续选择“地铁”的概率为,如此往复.
(1)若3月1日有两人选择“共享单车”出行,求丙选择“共享单车”的概率;
(2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为,求的分布列与数学期望;
(3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率,并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数.
(1)若3月1日有两人选择“共享单车”出行,求丙选择“共享单车”的概率;
(2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为,求的分布列与数学期望;
(3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率,并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数.
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