1 . 某工厂的质检部门对拟购买的一批原料进行抽样检验，以判定是接收还是拒收这批原料.现有如下两种抽样检验方案：方案一：随机抽取一个容量为10 的样本，并全部检验，若样本中不合格品数不超过1个，则认为该批原料合格，予以接收.方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验.若都合格，则予以接收；若样本中不合格品数超过1个，则拒收；若样本中不合格品数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，并全部检验，且只有第二批抽样全部合格，才予以接收.假设拟购进的这批原料，合格率为，并用p作为原料中每件产品是合格品的概率.若每件产品的所需的检验费用为10元，且费用由工厂承担.
（1）若，记方案二中所需的检验费用为随机变量X，求X的分布列；
（2）分别计算两种方案中，这批原料通过检验的概率，如果你是原料供应商，你希望该工厂的质检部门采取哪种抽样检验方案？并说明理由.

2 . 教师教学技能训练是高等师范学校学生的必修内容.某师范类高校为了在有限的课时内更好的训练学生的教学技能，制定了一套考核方案：学生从6个试讲内容中一次性随机抽取3个，并按照要求在规定时间内独立完成.规定：至少合格完成其中2个便可提交通过.已知6个试讲内容中学生甲有4个能合格完成，2个不能完成；学生乙每个内容合格完成的概率都是，且每个内容合格完成与否互不影响
(1)分别写出甲、乙两位学生在一起考核中合格完成试讲内容数量的概率分布列，并分别计算其数学期望；
(2)试从两位学生合格完成试讲内容的数学期望及至少合格完成2个试讲内容的概率分析比较两位学生的教学技能.

3 . 某土特产超市为预估2022年元旦期间游客购买土特产的情况，对2021年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表：

购买金额（元）	[0，150）	[150，300）	[300，450）	[450，600）	[600，750）	[750，900]
人数	10	15	20	15	20	10

(1)根据以上数据完成列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于600元与性别有关．

	不少于600元	少于600元	合计
男		40
女	18
合计

(2)为吸引游客，该超市推出一种优惠方案：购买金额不少于600元可抽奖3次，每次中奖概率为P（每次抽奖互不影响，且P的值等于人数分布表中购买金额不少于600元的频率），中奖1次减50元，中奖2次减100元，中奖3次减150元．若游客甲计划购买800元的土特产，请列出实际付款数（元）的分布列并求其数学期望．
附：参考公式和数据：
附表：

	2.072	2.706	3.841	6.635	7.879
	0.150	0.100	0.050	0.010	0.005

4 . 某工厂购买软件服务，有如下两种方案：
方案一：软件服务公司每日收取80元，对于提供的软件服务每次10元；
方案二：软件服务公司每日收取200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．

(1)设日收费为y元，每天软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；
(2)该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．

5 . 某单位有员工50000人，一保险公司针对该单位推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把该单位的所有岗位分为，，三类工种，从事三类工种的人数分布比例如饼图所示，且这三类工种每年的赔付概率如下表所示：

工种类别
赔付概率

对于，，三类工种，职工每人每年保费分别为元､元､元，出险后的赔偿金额分别为100万元､100万元､50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年20万元.
(1)若保险公司要求每年收益的期望不低于保费的，证明：.
(2)现有如下两个方案供单位选择：方案一：单位不与保险公司合作，职工不交保险，出意外后单位自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给出意外的职工，单位开展这项工作的固定支出为每年35万元；方案二：单位与保险公司合作，，，单位负责职工保费的，职工个人负责，出险后赔偿金由保险公司赔付，单位无额外专项开支.根据该单位总支出的差异给出选择合适方案的建议.

6 . 在一次大范围的随机知识问卷调查中，通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如下表所示：

得分
频数	2	13	21	25	24	11	4

（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表).
①求的值；
②若，求的值；
（2）在（1）的条件下，为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：

赠送话费的金额(单位：元)	20	50
概率

现有市民甲参加此次问卷调查，记(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望.

7 . 某企业办有甲乙两个工厂，为了解其工人的生产能力以及生产效益情况，现用分层抽样的方法，分别从甲乙两个工厂的工人中抽取100名、50名进行测评，并根据5项最重要的指标评分合计出每名工人的生产能力总分.由测评可知，工人月生产效益与生产能力密切相关，统计结果如下表：
工人的生产能力总分测评结果统计如下：

生产能力总分 (分)	[0，60)	[60，70)	[70，80)	[80，90)	[90，100]
月生产效益     (元)	10000	15000	20000	25000	30000

将生产能力总分落入相应组别的频率视为该工人对应生产能力的概率，假设每名工人生产能力相互独立.
（1）若某工人生产能力总分不少于80分，则评定其为生产能手.现从甲工厂随机选取一名工人，估计此工人是生产能手的概率；
（2）随机从甲工厂中选取1名工人，用X表示其月生产效益，求X的分布列及数学期望；
（3）该企业拟以月生产效益均值为标准对甲乙两个工厂的工人进行考察，并对生产效益相对较好的工厂工人进行奖励，对生产效益较差的工厂工人进行技能培训，请依据抽测结果给出决策方案.

8 . 在新的高考改革形式下，全国某些省市年入学的高一学生都进行了选科，为了解学生的选科情况，广大附中高一年级对已经选了(语文､数学､外语)+物理的学生如何选择另外两门学科进行了调整，另外两科有种组合：①化学+生物，②生物+地理，③化学+地理，④生物+政治，⑤化学+政治，⑥政治+地理．假设学生选择每种组合是等可能的．

（1）每名学生若选全理(即化学+生物)或全文(即政治+地理)记分，若文理皆有(其余种组合)记分，且每名学生如何选科是相互独立的，现有甲､乙､丙名学生，记总得分为，求的分布列及数学期望；
（2）如图所示的条形图显示了广大附中高一年级名学生另外两门学科选择情况的统计结果．教学班要求每班人数不低于人，且不超过人，若低于人，则需要加入选择其他组合的学生，编成混合班，但混合班要求学生选择的另外两门学科中有一门共同学科，同时尽最大限度减小混合班个数，也不出现含个组合的混合班，试通过条形图，以频率估计概率，预测我校高一年级800名学生的组班情况，请给出一个较合理的编班方案，指明最少需要组成几个混合班，是什么样的组合？

9 . 有一大批产品，其验收方案是：先从这批产品中取6件作检验，这6件产品中优质品的件数记为（，），如果则接收这产品，如果则拒收；其他情况下做第二次检验，其做法是从产品中再另任取2件，逐一检验，若检验过程中检验出非优质品就要终止检验且拒收这批产品，否则继续产品检验，且仅当这2件产品都为优质品时接收这批产品．假设这批产品的优质品率为，且各件产品是否为优质品相互独立．
（1）求这批产品被接收的概率；
（2）若第一次检验费用固定为1000元，第二次检验费用为每件产品100元，记（单位：元）为整个产品检验过程中的总费用，求的分布列及数学期望．