1 . 某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久.甲上台阶时，可以一步上一个台阶，也可以一步上两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率为，为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第n个台阶的概率为，其中，且.
(1)若甲走3步时所得分数为X，求X的概率分布；
(2)证明：数列是等比数列；
(3)求甲在登山过程中，恰好登上第99级台阶的概率.

4 . 高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：，，，，，，．其中，，成等差数列且．物理成绩统计如表．（说明：数学满分150分，物理满分100分），若数学成绩不低于140分等第为“优”，物理成绩不低于90分等第为“优”.

分组
频数	6	9	20	10	5

（1）根据频率分布直方图，求出实数，，的值以及数学成绩为“优”的人数；
（2）已知本班中至少有一个“优”同学总数为6人，从该6人中随机抽取3人，记为抽到两个“优”的学生人数，求的分布列和数学期望．

5 . 某在外务工人员甲不知自己已感染新冠病毒（处于潜伏期），他从疫区回乡过春节，这期间他和乙、丙、丁三位朋友相聚.最终，乙、丙、丁也感染了新冠病毒.此时，乙被肯定是受甲感染，丙是受甲或乙感染的.假设他受甲和受乙感染的概率分别是0.6和0.4.丁是受甲、乙或丙感染的，假设他受甲、乙和丙感染的概率分别是0.2、0.4和0.4.在这种假设之下，乙、丙、丁中直接受甲感染的人数为.
（1）求的分布列和数学期望；
（2）该市在发现新冠病毒感染者后要求各区必须每天及时上报新增疑似病例人数.区上报的连续7天新增疑似病例数据是“总体均值为3，中位数4”，区上报的连续7天新增疑似病例数据是“总体均值为2，总体方差为”.设区和区连续7天上报新增疑似病例人数分别为，，…，和，，…，，和分别表示区和区第天上报新增疑似病例人数（和均为非负）.设，.
①比较和的大小；
②求和中较小的那个字母所对应的7个数有多少组？

7 . 为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定．某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，现对我校80名学生调查得到统计数据如下表，记为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”；为事件：“学习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件的频率是事件的频率的2倍．

	不使用手机	使用手机	合计
学习成绩优秀人数		12
学习成绩不优秀人数		26
合计

（1）运用独立性检验思想，判断是否有的把握认为中学生使用手机对学习成绩有影响？
（2）采用分层抽样的方法从这80名学生中抽出6名学生，并安排其中3人做书面发言，记做书面发言的成绩优秀的学生数为，求的分布列和数学期望．
参考数据：，其中．

	0.10	0.05	0.01	0.005	0.001
	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

9 . 某研究性学习小组收集了某网络销售平台近五年“双十一”当天成交额的数据，并制成如下表格：

年份x	2015	2016	2017	2018	2019
成交额y(百亿元)	9	12	17	21	27

（1）小组成员小明准备用线性模型刻画y与x的关系，请帮助小明求出线性方程；参考公式：线性回归方程中的，.
（2）小组成员小王收集了更多的数据信息，借助计算机整理得到下图：

小王提出，从图上来看，刻画y与x的关系选用线性模型明显不合理，而二次函数模型或指数函数模型(a，b，c∈R，b>0，b≠1)均有可能.已知中国人均可支配收入y₁与中国互联网用户人均该平台消费额y₂呈正线性相关，请你依据以下图表中的信息，帮助小王选择一个合理的函数模型，并简要说明理由(不需要求出a，b，c)

（3）“双十一”活动中，顾客可以享受优惠，也可能会冲动消费，导致所购物品闲置.(闲置物品全部在某二手平台上以原价的50%售出).某商户对标价100元的某种商品采取了3种销售形式促销：普通购物，秒杀购物，直播购物.该小组收集了相关信息整理得下表：

	普通购物	秒杀购物	直播购物
销售量占比	70%	10%	20%
折扣率	5%	20%	15%
所购物品闲置率	20%	40%	30%

用频率估计概率，从数学期望的角度，判断顾客购买该商品是否划算？
注：折扣率={(标价-售价)/标价}×100%；所购物品闲置率=(所购物品闲置总额/所购物品购买总数)×100%

10 . 随着视频传输和移动通信技术的日益成熟、以及新冠疫情的推动，直播＋电商的模式正在全球范围内掀起热潮．目前，国际上Amazon、Rakuten等电商平台和以Facebook为代表的社交类平台都纷纷上线了直播电商业务；在国内，淘宝、京东、抖音、拼多多、苏宁等众多平台都已成为该赛道内的玩家．根据中研产业研究院《2020-2025年中国直播电商行业市场深度分析及投资战略咨询研究报告》显示，2020年上半年，“直播经济”业态主要岗位的人才达到2019年同期的2.4倍；2020年“6·18”期间，带货主播和直播运营两大岗位高达去年同期的11.6倍．针对这一市场现象，为了加强监管，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．
（1）请完成关于商品和服务评价的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？

	对服务好评	对服务不满意	合计
对商品好评	80
对商品不满意		10
合计			200

（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为随机变量X，求对商品和服务全为好评的次数X的分布列和数学期望．
附临界值表：

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

的观测值：（其中）