1 . 若，是样本空间上的两个离散型随机变量，则称是上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设的一切可能取值为，，记表示在中出现的概率，其中．
(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为，2号盒子中的小球个数为，则是一个二维随机变量．
①写出该二维离散型随机变量的所有可能取值；
②若是①中的值，求（结果用，表示）；
(2)称为二维离散型随机变量关于的边缘分布律或边际分布律，求证：．

3 . 小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5.
(1)若小明共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率；
(2)若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中次，第二组投篮2次，投中次，求；
(3)记表示小明投篮次，恰有2次投中的概率，记表示小明在投篮不超过n次的情况下，当他投中2次后停止投篮，此时一共投篮的次数（当投篮n次后，若投中的次数不足2次也不再继续投），证明：.

4 . 某单位进行招聘面试，已知参加面试的名学生全都来自A，B，C三所学校，其中来自A校的学生人数为.该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟，面试完成后自行离场.
(1)求面试号码为2的学生来自A校的概率.
(2)若，，且B，C两所学校参加面试的学生人数比为，求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试后，B，C两校都还有学生未完成面试）的概率.
(3)记随机变量X表示最后一名A校学生完成面试所用的时长（从第1名学生开始面试到最后一名A校学生完成面试所用的时间），是的数学期望，证明：.

6 . 近年来，绿色环保和可持续设计受到社会的广泛关注，成为了一种日益普及的生活理念和方式可持续和绿色能源，是我们这个时代的呼唤，也是我们每一个人的责任．某环保可持续性食用产品做到了真正的“零浪费”设计，其外包装材质是蜂蜡．食用完之后，蜂蜡罐可回收用于蜂房的再建造．为了研究蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类的关系，研究团队收集了黄、褐两种颜色的蜂蜡罐，对M，N两个品种的蜜蜂各60只进行研究，得到如下数据：

	黄色蜂蜡罐	褐色蜂蜡罐
M品种蜜蜂	40	20
N品种蜜蜂	50	10

(1)判断是否有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联？
(2)假设要计算某事件的概率，常用的一个方法就是找一个与B事件有关的事件A，利用公式：求解现从装有a只M品种蜜蜂和b只N品种蜜蜂的蜂蜡罐中不放回地任意抽取两只，令第一次抽到M品种蜜蜂为事件A，第二次抽到M品种蜜蜂为事件B．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）研究发现，①M品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为；M品种蜜蜂飞入褐色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为；②N品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为；N品种蜜蜂飞入褐色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为．请从M，N两个品种蜜蜂中选择一种，求该品种蜜蜂被抽到的概率．
附：，其中．

	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
k	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

9 . 从有3个红球和4个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记表示事件“第次摸到红球”，．
(1)求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率；
(2)记表示，，同时发生的概率，表示已知与都发生时发生的概率．
①证明：；
②求．

10 . 有一对夫妻打算购房，对本城市30个楼盘的均价进行了统计，得到如下频数分布表：

均价（单位：千元）
频数	2	2	11	10	4	1

（1）若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，现任取一个楼盘的均价，假定，求均价恰在8.12千元到9.24千元之间的概率；
（2）经过一番比较，这对夫妻选定了一个自己满意的楼盘，恰巧该楼盘推出了趣味蹦台阶送忧惠活动，由两个客户配合完成该活动，在一个口袋中有大小材质均相同的红球40个，黑球20个，客户甲可随机从口袋中取出一个球，取后放回，若取出的是红球，则客户乙向上蹦两个台阶，若取出的是黑球，则客户乙向上蹦一个台阶，直到客户乙蹦上第5个台阶（每平方米优惠0.3千元）或第6个台阶（每平方米优惠3千元）时（活动开始时的位置记为第0个台阶），游戏结束.
①设客户乙站到第个台阶的概率为，证明：当时，数列是等比数列；
②若不参加蹦台阶活动，则直接每平方米优惠1.4千元，为了获得更大的优惠幅度，请问该对夫妻是否应参与蹦台阶活动.
参考数据：取，.若，则，，.