若,是样本空间上的两个离散型随机变量,则称是上的二维离散型随机变量或二维随机向量.设的一切可能取值为,,记表示在中出现的概率,其中.
(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中,记1号盒子中的小球个数为,2号盒子中的小球个数为,则是一个二维随机变量.
①写出该二维离散型随机变量的所有可能取值;
②若是①中的值,求(结果用,表示);
(2)称为二维离散型随机变量关于的边缘分布律或边际分布律,求证:.
(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中,记1号盒子中的小球个数为,2号盒子中的小球个数为,则是一个二维随机变量.
①写出该二维离散型随机变量的所有可能取值;
②若是①中的值,求(结果用,表示);
(2)称为二维离散型随机变量关于的边缘分布律或边际分布律,求证:.
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更新时间:2024-03-29 19:50:32
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【推荐1】为了了解某市空气质量,某小组从往年每天的某项空气污染指标的数据中随机抽取40天的数据,制成了频率分布直方图如图所示.现将该项空气污染指标的值划分为如下等级.
(1)从样本中按照分层随机抽样的方法从空气污染指标等级为一级、三级、四级的数据中抽取10天的数据,再从这10个数据中随机抽取3个,求空气污染指标等级在有1天为四级的条件下,另外两天中至少有1天为一级的概率.
(2)该市气象预报预计在未来三天内空气会持续重度污染,提醒广大市民非必要不外出.根据以往经验,若前一天的空气污染指标等级是四级,则第二天空气污染指标等级是四级的概率为,是三级的概率为;若前一天的空气污染指标等级是三级,则第二天是四级的概率为,是三级的概率为.现已知某天的空气污染指标等级为三级,设未来三天中空气污染指标等级是四级的天数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
污染指标 | ||||
等级 | 一级 | 二级 | 三级 | 四级 |
程度 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 |
(2)该市气象预报预计在未来三天内空气会持续重度污染,提醒广大市民非必要不外出.根据以往经验,若前一天的空气污染指标等级是四级,则第二天空气污染指标等级是四级的概率为,是三级的概率为;若前一天的空气污染指标等级是三级,则第二天是四级的概率为,是三级的概率为.现已知某天的空气污染指标等级为三级,设未来三天中空气污染指标等级是四级的天数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
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(0.4)
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【推荐2】中国男子篮球职业联赛(CBA)始于1995年,至今已有28个赛季,根据传统,在每个赛季总决赛之后,要举办一场南北对抗的全明星比赛,其中三分王的投球环节最为吸引眼球,三分王投球的比赛规则如下:一共有五个不同角度的三分点位,每个三分点位有5个球(前四个是普通球,最后一个球是花球),前四个球每投中一个得1分,投不中的得0分,最后一个花球投中得2分,投不中得0分.全明星参赛球员甲在第一个角度的三分点开始投球,已知球员甲投球的命中率为,且每次投篮是否命中相互独立.
(1)记球员甲投完1个普通球的得分为X,求X的方差D(X);
(2)若球员甲投完第一个三分点位的5个球后共得到了2分,求他是投中了花球而得到了2分的概率;
(3)在比赛结束后与球迷的互动环节中,将球员甲在前两个三分点位使用过的10个篮球对应的小模型放入箱中,由幸运球迷从箱中随机摸出5个小模型,并规定,摸出一个花球小模型计2分,摸出一个普通球小模型计1分,求该幸运球迷摸出5个小模型后的总计分Y的数学期望.
(1)记球员甲投完1个普通球的得分为X,求X的方差D(X);
(2)若球员甲投完第一个三分点位的5个球后共得到了2分,求他是投中了花球而得到了2分的概率;
(3)在比赛结束后与球迷的互动环节中,将球员甲在前两个三分点位使用过的10个篮球对应的小模型放入箱中,由幸运球迷从箱中随机摸出5个小模型,并规定,摸出一个花球小模型计2分,摸出一个普通球小模型计1分,求该幸运球迷摸出5个小模型后的总计分Y的数学期望.
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【推荐1】某辖区组织居民接种新冠疫苗,现有A,B,C,D四种疫苗且每种都供应充足.前来接种的居民接种与号码机产生的号码对应的疫苗,号码机有A,B,C,D四个号码,每次可随机产生一个号码,后一次产生的号码由前一次余下的三个号码中随机产生,张医生接种A种疫苗后,再为居民们接种,记第n位居民(不包含张医生)接种A,B,C,D四种疫苗的概率分别为.
(1)第2位居民接种哪种疫苗的概率最大;
(2)证明:;
(3)张医生认为,一段时间后接种A,B,C,D四种疫苗的概率应该相差无几,请你通过计算第10位居民接种A,B,C,D四种的概率,解释张医生观点的合理性.
参考数据:
(1)第2位居民接种哪种疫苗的概率最大;
(2)证明:;
(3)张医生认为,一段时间后接种A,B,C,D四种疫苗的概率应该相差无几,请你通过计算第10位居民接种A,B,C,D四种的概率,解释张医生观点的合理性.
参考数据:
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【推荐2】4月19日是中国传统二十四节气之一的“谷雨”,联合国将这天定为“联合国中文日”,以纪念“中华文字始祖”仓颉[jié]造字的贡献,旨在庆祝多种语言以及文化多样性,促进联合国六种官方语言平等使用.某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛,每位留学生随机抽取问题并依次作答,其中每个问题的回答相互独立.若答对一题记2分,答错一题记1分,已知甲留学生答对每个问题的概率为,答错的概率为.
(1)甲留学生随机抽取题,记总得分为,求的分布列与数学期望;
(2)(ⅰ)若甲留学生随机抽取道题,记总得分恰为分的概率为,求数列的前项和;
(ⅱ)记甲留学生已答过的题累计得分恰为分的概率为,求数列的通项公式.
(1)甲留学生随机抽取题,记总得分为,求的分布列与数学期望;
(2)(ⅰ)若甲留学生随机抽取道题,记总得分恰为分的概率为,求数列的前项和;
(ⅱ)记甲留学生已答过的题累计得分恰为分的概率为,求数列的通项公式.
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(0.4)
【推荐3】某档电视节目举行了关于“中国梦”的知识竞赛,规则如下:选手每两人一组,同一组的两人以抢答的方式答题,抢到并回答正确得1分,答错则对方得1分,比赛进行到一方比另一方净胜2分结束,且多得2分的一方最终胜出.已知甲、乙两名选手分在同一组,两人都参与每一次抢题,且每次抢到题的概率都为.甲、乙两人每道题答对的概率分别为,,并且每道题两人答对与否相互独立,假设准备的竞赛题足够的多.
(1)求第二题答完比赛结束的概率;
(2)求知识竞赛结束时,抢答题目总数的期望.
(1)求第二题答完比赛结束的概率;
(2)求知识竞赛结束时,抢答题目总数的期望.
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【推荐1】垃圾分类,是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运,从而转变成公共资源的一系列活动的总称.分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值,力争物尽其用.2019年6月25日,生活垃圾分类制度入法.到2020年底,先行先试的46个重点城市,要基本建成垃圾分类处理系统;其他地级城市实现公共机构生活垃圾分类全覆盖.某机构欲组建一个有关“垃圾分类”相关事宜的项目组,对各个地区“垃圾分类”的处理模式进行相关报道.该机构从600名员工中进行筛选,筛选方法:每位员工测试,,三项工作,3项测试中至少2项测试“不合格”的员工,将被认定为“暂定”,有且只有一项测试“不合格”的员工将再测试,两项,如果这两项中有1项以上(含1项)测试“不合格”,将也被认定为“暂定”,每位员工测试,,三项工作相互独立,每一项测试“不合格”的概率均为.
(1)记某位员工被认定为“暂定”的概率为,求;
(2)每位员工不需要重新测试的费用为90元,需要重新测试的总费用为150元,除测试费用外,其他费用总计为1万元,若该机构的预算为8万元,且该600名员工全部参与测试,问上述方案是否会超过预算?请说明理由.
(1)记某位员工被认定为“暂定”的概率为,求;
(2)每位员工不需要重新测试的费用为90元,需要重新测试的总费用为150元,除测试费用外,其他费用总计为1万元,若该机构的预算为8万元,且该600名员工全部参与测试,问上述方案是否会超过预算?请说明理由.
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名校
【推荐2】有甲、乙两队学生参加“知识联想”抢答赛,比赛规则:①主持人依次给出两次提示,第一次提示后答对得2分,第二次提示后答对得1分,没抢到或答错者不得分;②主持人给出第一个提示后开始抢答,第一轮抢答出错失去第二轮答题资格;③每局比赛分两轮,若第一轮抢答者给出正确答案,则此局比赛结束,若第一轮答题者答错,主持人提示后另一队直接答题.如果甲、乙两队抢到答题权机会均等,并且势均力敌,第一个提示后答对概率均为;第二个提示后答对概率均为,为甲队在一局比赛中的分.
(1)求甲在一局比赛中得分的分布列;
(2)若比赛共4局,求甲4局比赛中至少得6分的概率.
(1)求甲在一局比赛中得分的分布列;
(2)若比赛共4局,求甲4局比赛中至少得6分的概率.
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(0.4)
【推荐3】某车间用一台包装机包装葡萄糖,每袋葡萄糖的重量是一个随机变量,它服从正态分布.当机器工作正常时,每袋葡萄糖平均重量为0.5kg,标准差为0.015kg.
(1)已知包装每袋葡萄糖的成本为1元,若发现包装好的葡萄糖重量异常,则需要将该袋葡萄糖进行重新包装,假设重新包装后的葡萄糖重量正常.若某袋葡萄糖的重量满足,则认为该袋葡萄糖重量正常.问:在机器工作正常的情况下,至少包装多少袋葡萄糖才能使“至少有一袋包装好的葡萄糖重量正常”的概率大于0.98?并求出相应成本的最小期望值.
(2)某日开工后,为检查该包装机工作是否正常,随机地抽取它所包装的葡萄糖9袋,若抽取的9袋葡萄糖称得净重(kg)为:0.496,0.508,0.524,0.519,0.495,0.510,0.522,0.513,0.512.用样本平均数作为的估计值,以作为检验统计量,其中为样本总数,服从正态分布,且.
①若机器工作正常时,每袋葡萄糖的重量服从的正态分布曲线如下图所示,且经计算得上述样本数据的标准差0.022.请在下图(机器正常工作时的正态分布曲线)中,绘制出以该样本作为估计得到的每袋葡萄糖所服从的正态分布曲线的草图.
②若,就推断该包装机工作异常,这种推断犯错误的概率不超过,试以95%的可靠性估计该包装机工作是否正常.
附:若随机变量服从正态分布:,
参考数据:;
(1)已知包装每袋葡萄糖的成本为1元,若发现包装好的葡萄糖重量异常,则需要将该袋葡萄糖进行重新包装,假设重新包装后的葡萄糖重量正常.若某袋葡萄糖的重量满足,则认为该袋葡萄糖重量正常.问:在机器工作正常的情况下,至少包装多少袋葡萄糖才能使“至少有一袋包装好的葡萄糖重量正常”的概率大于0.98?并求出相应成本的最小期望值.
(2)某日开工后,为检查该包装机工作是否正常,随机地抽取它所包装的葡萄糖9袋,若抽取的9袋葡萄糖称得净重(kg)为:0.496,0.508,0.524,0.519,0.495,0.510,0.522,0.513,0.512.用样本平均数作为的估计值,以作为检验统计量,其中为样本总数,服从正态分布,且.
①若机器工作正常时,每袋葡萄糖的重量服从的正态分布曲线如下图所示,且经计算得上述样本数据的标准差0.022.请在下图(机器正常工作时的正态分布曲线)中,绘制出以该样本作为估计得到的每袋葡萄糖所服从的正态分布曲线的草图.
②若,就推断该包装机工作异常,这种推断犯错误的概率不超过,试以95%的可靠性估计该包装机工作是否正常.
附:若随机变量服从正态分布:,
参考数据:;
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解题方法
【推荐1】有一种骰子游戏,某人掷两颗骰子,若掷出的点数之和是7或11,则赢;若掷出的点数之和是2、3或12,则输;若掷出其他的点数和,则记下这个数,继续掷这两颗骰子,直到掷出这个记下的数或者7为止,若是这个记下的数,则赢,若是7,则输.求此人赢的概率是多少.
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(0.4)
名校
【推荐2】王老师每天早上7:00准时从家里出发去学校,他每天只会从地铁与汽车这两种交通工具之间选择一个乘坐.王老师多年积累的数据表明,他到达学校的时间在两种交通工具下的概率分布如下表所示:
(例如:表格中0.35的含义是如果王老师当天乘地铁去学校,则他到校时间在7:35-7:40的概率为0.35.)
(1)某天早上王老师通过抛一枚质地均匀的硬币决定乘坐地铁还是乘坐汽车去学校,若正面向上则坐地铁,反面向上则坐汽车.求他当天7:40-7:45到校的概率;
(2)已知今天(第一天)王老师选择乘坐地铁去学校,从第二天开始,若前一天到校时间早于7:40,则当天他会乘坐地铁去学校,否则当天他将乘坐汽车去学校.且若他连续10天乘坐地铁,则不论他前一天到校的时间是否早于7:40,第11天他都将坐汽车到校.记他从今天起(包括今天)到第一次乘坐汽车去学校前坐地铁的次数为,求;
(3)已知今天(第一天)王老师选择乘坐地铁去学校.从第二天开始,若他前一天坐地铁去学校且到校时间早于7:40,则当天他会乘坐地铁去学校;若他前一天坐地铁去学校且到校时间晚于7:40,则当天他会乘坐汽车去学校;若他前一天乘坐汽车去学校,则不论他前一天到校的时间是否早于7:40,当天他都会乘坐地铁去学校.记为王老师第天坐地铁去学校的概率,求的通项公式.
到校时间 | 7:30之前 | 7:30-7:35 | 7:35-7:40 | 7:40-7:45 | 7:45-7:50 | 7:50之后 |
乘地铁 | 0.1 | 0.15 | 0.35 | 0.2 | 0.15 | 0.05 |
乘汽车 | 0.25 | 0.3 | 0.2 | 0.1 | 0.1 | 0.05 |
(1)某天早上王老师通过抛一枚质地均匀的硬币决定乘坐地铁还是乘坐汽车去学校,若正面向上则坐地铁,反面向上则坐汽车.求他当天7:40-7:45到校的概率;
(2)已知今天(第一天)王老师选择乘坐地铁去学校,从第二天开始,若前一天到校时间早于7:40,则当天他会乘坐地铁去学校,否则当天他将乘坐汽车去学校.且若他连续10天乘坐地铁,则不论他前一天到校的时间是否早于7:40,第11天他都将坐汽车到校.记他从今天起(包括今天)到第一次乘坐汽车去学校前坐地铁的次数为,求;
(3)已知今天(第一天)王老师选择乘坐地铁去学校.从第二天开始,若他前一天坐地铁去学校且到校时间早于7:40,则当天他会乘坐地铁去学校;若他前一天坐地铁去学校且到校时间晚于7:40,则当天他会乘坐汽车去学校;若他前一天乘坐汽车去学校,则不论他前一天到校的时间是否早于7:40,当天他都会乘坐地铁去学校.记为王老师第天坐地铁去学校的概率,求的通项公式.
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(0.4)
【推荐3】神舟十四号,简称“神十四”,为中国载人航天工程发射的第十四艘飞船,已经于2022年6月5日上午10时44分07秒在酒泉卫星发射中心发射,3名航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲进驻核心舱并在轨驻留6个月.“神十四”的成功发射是我国载人航天上又一个重要的里捏碑,实现了“神十四”与天宫一号的快速对接,创造了新的奇迹,为了宣传这一航天盛事,某高校组织了一场航天知识竞赛,共有1000名大学生参加,经统计发现他们的成绩(满分120)全部位于区间内.现将成绩分成6组:,,,,,,得到如图所示的频率分布直方图,根据该直方图估计该1000名大学生成绩的平均分是77分,现规定前250名在10天后进行复赛.
(1)求a,b的值(同一组数据用该组区间的中点值为代表),并根据频率分布直方图估计进入复赛的分数线(结果保留整数);
(2)复赛共分为两个环节:A和B,经统计,通过初赛的学生在准备复赛的首日有的学生准备项目A,其余学生准备项目B;在前一天准备项目A的学生中,次日会有的学生继续选择准备项目A,其余选择准备项目B;在前一天选择准备项目B的学生中,次日会有的学生继续选择准备项目B,其余学生选择准备项目A,用频率近似估计概率,记某学生在第n天准备项目A的概率为,求.
(1)求a,b的值(同一组数据用该组区间的中点值为代表),并根据频率分布直方图估计进入复赛的分数线(结果保留整数);
(2)复赛共分为两个环节:A和B,经统计,通过初赛的学生在准备复赛的首日有的学生准备项目A,其余学生准备项目B;在前一天准备项目A的学生中,次日会有的学生继续选择准备项目A,其余选择准备项目B;在前一天选择准备项目B的学生中,次日会有的学生继续选择准备项目B,其余学生选择准备项目A,用频率近似估计概率,记某学生在第n天准备项目A的概率为,求.
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