1 . 口袋里装有大小与质地相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依下面的规则从袋中有放回地摸球，每次摸1个球.规则如下：若一方摸出1个红球，则此人继续下一次摸球；若一方摸出1个白球，则由对方接替下一次摸球.假设每次摸球相互独立，且由甲进行第一次摸球.求在前三次摸球中，甲摸得红球的次数X的分布列及期望.

2 . 一袋中装有编号为1、2、3、4、5的五个大小与质地相同的球.依次摸两个球，用、分别表示第一个及第二个球的编号.在以下两种情况下分别求、以及两编号之和的分布，再分别验证等式与是否成立.
(1)放回；
(2)不放回.

3 . 设X是一个随机变量，c是常数.求证：X＋c的方差与X的方差相等.

4 . 某人准备应聘甲、乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试．已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，m，其中，技能测试是否通过相互独立．

(1)若，分别求该应聘者应聘甲、乙两家公司，三项专业技能测试恰好通过两项的概率；
(2)若甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，若以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求m的取值范围．

5 . 运动员甲定点罚篮的命中率为，假设每次投篮结果相互独立.
(1)甲定点罚篮4次，求他投中了两次的概率；
(2)甲定点罚篮3次，设是3次罚篮投中次数与没有投中次数之差的绝对值，求随机变量的分布与期望；
(3)甲定点罚篮次，试问甲投中多少次的可能性最大？

6 . 人工智能正在改变我们的世界，由OpenAI开发的人工智能划时代标志的ChatGPT能更好地理解人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命.它渗透人类社会的方方面面，让人类更高效地生活.现对130人的样本使用ChatGPT对服务业劳动力市场的潜在影响进行调查，其数据的统计结果如下表所示：

ChatGPT应 用的广泛性	服务业就业人数的		合计
	减少	增加
广泛应用	60	10	70
没广泛应用	40	20	60
合计	100	30	130

(1)根据小概率值的独立性检验，是否有的把握认为ChatGPT应用的广泛性与服务业就业人数的增减有关？
(2)现从“服务业就业人数会减少”的100人中按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有人认为人工智能会在服务业中广泛应用，求的分布列和均值.
附：，其中.

	0.1	0.05	0.01
	2.706	3.841	6.635

7 . “五一黄金周”期间，某商场为吸引顾客，增加顾客流量，推出购物促销优惠活动，具体优惠方案有两种：方案一：消费金额不满300元，不予优惠；消费金额满300元减60元；方案二：消费金额满300元，可参加一次抽奖活动，活动规则为：从装有3个红球和3个白球共6个球的盒子中任取3个球（这些小球除颜色不同其余均相同），抽奖者根据抽到的红球个数不同将享受不同的优惠折扣，具体优惠如下：

抽到的红球个数	0	1	2	3
优惠折扣	无折扣	九折	八折	七折

(1)现有甲乙两位顾客各获得一次抽奖活动，求这两位顾客恰好有一人获得八折优惠折扣的概率；
(2)若李女士在该商场消费金额为x元（），请以李女士实付金额的期望为决策依据，对李女士选择何种优惠方案提出建议.

8 . 袋中装有5个相同的红球和2个相同的黑球，每次从中抽出1个球，抽取3次按不放回抽取，得到红球个数记为X，得到黑球的个数记为Y；按放回抽取，得到红球的个数记为．下列结论中正确的是________．

①；②；③；④．

（注：随机变量X的期望记为、方差记为）

9 . 在某种没有平局的比赛中，选手每赢一局可以得到1点积分，每输一局会失去1点积分，若选手连赢了3局或更多的比赛，则从连赢的第三局开始，每赢一局会得到2点积分，现在设某选手的胜率为60%，则他第6局的获得的分数的数学期望是______．

10 . 某数学学习小组的7名学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考试的成绩如下表所示（满分100分）：

	学生1	学生2	学生3	学生4	学生5	学生6	学生7
第一次	82	89	78	92	92	65	81
第二次	83	90	75	95	93	61	76

(1)从数学学习小组7名学生中随机选取1名，求该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率；
(2)设表示第名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差.从数学学习小组7名学生中随机选取2名，得到数据，定义随机变量，如下：
（i）求的分布列和数学期望；
（ii）设随机变量，的的方差分别为，，试比较与的大小．（结论不要求证明）