名校
解题方法
1 . 某商城进行促销活动，购买某产品的顾客可以参加一次游戏：在一个不透明箱子中放入红、蓝、黄三种颜色的小球各1个，顾客从中有放回地取出小球，直到取出的小球集齐了三种颜色则停止取球．设顾客停止取球时，取过的小球次数为
，
(1)求
；
(2)设
，数列
，求
的通项公式；
(3)顾客停止取球时，取过的小球次数为，顾客可以获得对应的
元奖金，其中
，求证：
．
，(1)求
；(2)设
，数列，求的通项公式；(3)顾客停止取球时，取过的小球次数为
，顾客可以获得对应的元奖金，其中，求证：．
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名校
2 . 情报
是仅含0和1两种的k位数据，例如11001. 情报传输时要经过n个信号站，每经过一个信号站，每位数字0传错为1的概率为
，每位数字1传错为0的概率为
，其中
，在各次传输过程中，情报中各数字相互独立，且传输中无其他错误发生. 情报经过n个信号站传输后的情报为
，设与完全相同的概率为
，与中有
个对应位置数字取值相等.
(1)若
，
，求
的分布列；
(2)若
，证明
的数学期望
与n无关；
(3)若
，且
，证明：
. 若将改为
，判断是否仍有恒成立，并说明理由.
是仅含0和1两种的k位数据，例如11001. 情报传输时要经过n个信号站，每经过一个信号站，每位数字0传错为1的概率为，每位数字1传错为0的概率为，其中，在各次传输过程中，情报中各数字相互独立，且传输中无其他错误发生. 情报经过n个信号站传输后的情报为，设与完全相同的概率为，与中有个对应位置数字取值相等.(1)若
，，求的分布列；(2)若
，证明的数学期望与n无关；(3)若
，且，证明：. 若将改为，判断是否仍有恒成立，并说明理由.
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名校
3 . 某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由
位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束．
已知A团队每位成员闯过第一关和第二关的概率均为
，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响．
(1)用随机变量X表示A团队第
位成员的闯关数，求X的分布列；
(2)已知A团队第
位成员上场并闯过第二关，求恰好是第3位成员闯过第一关的概率；
(3)记随机变量
表示A团队第
位成员上场并结束闯关活动，证明
单调递增，并求使
的n的最大值．
位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束．已知A团队每位成员闯过第一关和第二关的概率均为
，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响．(1)用随机变量X表示A团队第
位成员的闯关数，求X的分布列；(2)已知A团队第
位成员上场并闯过第二关，求恰好是第3位成员闯过第一关的概率；(3)记随机变量
表示A团队第位成员上场并结束闯关活动，证明单调递增，并求使的n的最大值．
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名校
4 . “布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓，且粒子经过
次随机选择后到达2号仓的概率为
，已知该粒子的初始位置在2号仓.
是等比数列，并求数列
的通项公式；
(2)粒子经过4次随机选择后，记粒子在1号仓出现的次数为，求的分布列与数学期望.
次随机选择后到达2号仓的概率为，已知该粒子的初始位置在2号仓.
是等比数列，并求数列的通项公式；(2)粒子经过4次随机选择后，记粒子在1号仓出现的次数为
，求的分布列与数学期望.
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23-24高三上·广东佛山·阶段练习
5 . 某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回的从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励50元的奖券，抽到黑球则奖励25元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励25元的奖券，记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额
的数学期望为
．
(1)求
及的分布列．
(2)写出与
的递推关系式，并证明
为等比数列；
(3)若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值．（考数据：
）
的数学期望为．(1)求
及的分布列．(2)写出
与的递推关系式，并证明为等比数列；(3)若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值．（考数据：
）
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2024-04-01更新
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626次组卷
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6卷引用：第七章 概率初步（续）（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第二册）
（已下线）第七章 概率初步（续）（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第二册）（已下线）8.2 离散型随机变量及其分布列（4）广东省佛山市南海区狮山石门高级中学2024届高三上学期第二次统测（10月）数学试题（已下线）山东省实验中学2024届高三第一次诊断考试数学试题变式题19-22（已下线）【一题多变】有无放回 两类分布（已下线）微考点7-2 递推方法计算概率与一维马尔科夫过程（数列与概率结合）
6 . 如图为英国生物学家高尔顿设计的“高尔顿板”示意图，每一个黑点代表钉在板上的一颗钉子，下方有从左至右依次编号为
的格子（此时钉子层数为
）.当小球从板口下落时，它将碰到钉子并有
的概率向左或向右滚下，继续碰至下一层钓子，依次类推落入底部格子.记小球落入格子的编号为.定义
.
时的分布列；
(2)证明：
；
(3)改变格子个数（钉子层数相应改变），进行
次实验，第
且
次实验中向格子最大编号为
的高尔顿板中投入
个小球，记所有实验中所有小球落入的格子编号之和为.已知无交集的独立事件的期望具有累加性，设每次实验､每次投球相互独立，求
关于
的表达式.
的格子（此时钉子层数为）.当小球从板口下落时，它将碰到钉子并有的概率向左或向右滚下，继续碰至下一层钓子，依次类推落入底部格子.记小球落入格子的编号为.定义.
时的分布列；(2)证明：
；(3)改变格子个数（钉子层数相应改变），进行
次实验，第且次实验中向格子最大编号为的高尔顿板中投入个小球，记所有实验中所有小球落入的格子编号之和为.已知无交集的独立事件的期望具有累加性，设每次实验､每次投球相互独立，求关于的表达式.
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名校
7 . 为了解甲、乙两厂的产品质量，从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取了几件测量产品中的微量元素
的含量（单位：毫克）．规定微量元素的含量满足：
（单位：毫克）为优质品．甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表如下：
(1)从乙厂抽取的产品中随机抽取2件，求抽取的2件产品中优质品数
的分布列及其数学期望；
(2)从甲乙两厂的产品中各随机抽取2件，求其中优质品数之和为2的概率；
(3)在（2）的条件下，写出甲乙两厂的优质品数之和
的数学期望．（结论不要求证明）
的含量（单位：毫克）．规定微量元素的含量满足：（单位：毫克）为优质品．甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表如下：
| 含量 | 频数 |
 | 1 |
 | 2 |
 | 4 |
 | 2 |
 | 1 |
(1)从乙厂抽取的产品中随机抽取2件，求抽取的2件产品中优质品数
的分布列及其数学期望；(2)从甲乙两厂的产品中各随机抽取2件，求其中优质品数之和为2的概率；
(3)在（2）的条件下，写出甲乙两厂的优质品数之和
的数学期望．（结论不要求证明）
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解题方法
8 . 某单位进行招聘面试，已知参加面试的
名学生全都来自A，B，C三所学校，其中来自A校的学生人数为
.该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码
，按面试号码由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟，面试完成后自行离场.
(1)求面试号码为2的学生来自A校的概率.
(2)若
，
，且B，C两所学校参加面试的学生人数比为
，求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试后，B，C两校都还有学生未完成面试）的概率.
(3)记随机变量X表示最后一名A校学生完成面试所用的时长（从第1名学生开始面试到最后一名A校学生完成面试所用的时间），
是的数学期望，证明：
.
名学生全都来自A，B，C三所学校，其中来自A校的学生人数为.该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟，面试完成后自行离场.(1)求面试号码为2的学生来自A校的概率.
(2)若
，，且B，C两所学校参加面试的学生人数比为，求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试后，B，C两校都还有学生未完成面试）的概率.(3)记随机变量X表示最后一名A校学生完成面试所用的时长（从第1名学生开始面试到最后一名A校学生完成面试所用的时间），
是的数学期望，证明：.
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2024-03-29更新
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2392次组卷
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2卷引用：重庆市缙云教育联盟2023-2024学年高二下学期3月月度质量检测数学试题
23-24高三下·浙江金华·阶段练习
解题方法
9 . 为鼓励消费，某商场开展积分奖励活动，消费满100元的顾客可拋掷骰子两次，若两次点数之和等于7，则获得5个积分：若点数之和不等于7，则获得2个积分．
(1)记两次点数之和等于7为事件A，第一次点数是奇数为事件B，证明：事件A，B是独立事件；
(2)现有3位顾客参与了这个活动，求他们获得的积分之和X的分布列和期望．
(1)记两次点数之和等于7为事件A，第一次点数是奇数为事件B，证明：事件A，B是独立事件；
(2)现有3位顾客参与了这个活动，求他们获得的积分之和X的分布列和期望．
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解题方法
10 . 信息熵是信息论之父香农（Shannon）定义的一个重要概念，香农在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量所有可能的取值为
，且
，
，定义的信息熵
.
(1)当
时，计算
；
(2)当
时，试探索的信息熵关于的解析式，并求其最大值；
(3)若
，随机变量所有可能的取值为
，且
，证明:
.
所有可能的取值为，且，，定义的信息熵.(1)当
时，计算；(2)当
时，试探索的信息熵关于的解析式，并求其最大值；(3)若
，随机变量所有可能的取值为，且，证明:.
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