1 . 从《唐宫夜宴》火爆破圈开始，河南电视台推出的“中国节日”系列节目被年轻人列入必看节目之一.从某平台“中国节日”系列节目的粉丝与游客（未注册的访客）中各随机抽取200人，统计他们的年龄（单位：岁，年龄都在内），并按照，，，，分组，得到粉丝年龄频率分布直方图及游客年龄频数分布表如下所示.

年龄/岁
频数	10	60	50	45	35

(1)估计粉丝年龄的平均数及游客年龄的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)以频率估计概率，从该平台“中国节日”系列节目的所有粉丝与游客中各随机抽取2人，记这4人中年龄在内的人数为，求的分布列与期望.

2 . “学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台．“学习强国”学习平台于2019年1月1日在全国正式上线．该平台首次实现了“有组织、有管理、有指导、有服务”的学习，极大地满足了互联网条件下广大党员干部和人民群众多样化、自主化、便捷化的学习需求．某市为了解居民每天关注“学习强国”平台的情况，随机抽取了200位居民，对他们每天关注“学习强国”平台的时间进行统计，得到如下的频数分布表：

关注时间/小时
频数	10	25	45	50	50	20

(1)根据频数分布表估计这200位居民每天关注“学习强国”平台的平均时间；
(2)为引导广大居民积极利用“学习强国”APP进行理论学习，该市有关部门举办学习经验交流会，从学习时间在和的居民中按分层抽样的方法抽取7人参加交流会，已知这7人中有4名党员，若需要从这7人中选出4人分享学习的心得体会，设选出的党员的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

3 . 刷抖音是现在不少人喜爱的娱乐方式，既可以在工作之余借助其消除疲劳，还可以学会不少知识，现在抖音里有一款“生活常识答题”程序游戏，其规则如下：每次点击开始答题后，需连续依次回答A，B，C三类题，当回答一类题结束时会根据正确率出现“优秀”或“加油”图标，若三类题答题结束后出现一个或两个“优秀”图标，则最后会显示80分，出现三个“优秀”图标，则显示200分，否则会显示-20分.小张同学正确回答A，B，C三类题出现“优秀”的概率依次分别为，，.
(1)记小张同学答题活动结束出现“优秀”的图标个数为X，求X的分布列与数学期望；
(2)小张同学如果答题4次，求4次中至少有2次获得200分的概率.

4 . 某公同为调查某产品的市场满意度，对市场进行调研测评，测评方式知下：从全体消费者中随机抽取1000人给该商品评分，得分在60分以下视为“不满意”，得分在区间视为“基本满意”，得分在80分及以上视为“非常满意”．现将他们给该商品的评分分组：，得到如下频率分布直方图：

(1)对评分为“基本满意”与“非常满意”的消费者进行跟踪调查，根据上述的统计数据补全列联表，并判断是否有99.5%的把握认为消费者对该商品的满意度与年龄有关．

	基本满意	非常满意	总计
年龄	350
年龄		110
总计			800

附：．

	0.050	0.010	0.005
	3.841	6.635	7.879

(2)从评分为“基本满意”和“非常满意”的消费者中用分层抽样的方法抽取8人，进行二次调查，对产品提出改进意见，并进行评比．最终有3人获奖（8人中每人是否获奖视为等可能的），求获奖消费者中评分为“基本满意”的人数X的分布列及数学期望．

5 . 由于疫情的影响，上级要求学生本周末不离校．为了缓解学生的压力，高二年级决定利用周六下午在学生中开展“过三关”知识竞赛，比赛规则如下：只有通过前面一关才能进入下一关，否则竞赛结束；为了鼓励大家，规定在第一关未通过的同学，有一次求助场外同学的机会．（现有甲同学报名参加“过三关”竞赛，假设甲同学第一关独立通过的概率为，第二关通过的概率为，第三关通过的概率是．）求助场外同学通过第一关的概率为（假定每位参赛同学在靠自己未能通过第一关的情况下都会使用求助场外同学的机会）．用X表示甲同学通过的关数，试求X的分布列和期望．

6 . 已知某工厂的一种机器有两个相同的易损配件，当两个配件都正常工作时（两个配件损坏与否互不影响），该机器才能正常运转.该工厂计划购买一批易损配件，现有甲、乙两个品牌的配件供选择，甲、乙两个品牌的配件可以搭配使用，甲品牌配件的价格为400元/个，乙品牌配件的价格为800元/个.现需决策如何购买易损配件，为此收集并整理了以往购买的甲、乙两个品牌配件各100个的使用时间的数据，得到如下柱状图.分别以甲、乙两种配件使用时间的频率作为概率.
(1)若从2个甲品牌配件和2个乙品牌配件中任选2个装入机器，求该机器正常运转时间不少于2个月的概率.
(2)现有两种购置方案：方案一，购置2个甲品牌配件；方案二，购置2个乙品牌配件.试从性价比（机器正常运转的时间的数学期望与成本的比值）的角度考虑，哪一种方案更实惠?

7 . “百年征程波澜壮阔，百年初心历久弥坚”．为庆祝中国建党一百周年，哈市某高中举办了“学党史、知党情、跟党走”的党史知识竞赛．比赛分为初赛和决赛两个环节，通过初赛选出两名同学进行最终决赛．若该高中A，B两名学生通过激烈的竞争，取得了初赛的前两名，现进行决赛．规则如下：设置5轮抢答，每轮抢到答题权并答对则该学生得1分，答错则对方得1分．当分差达到2分或答满5轮时，比赛结束，得分高者获胜．已知A，B每轮均抢答且抢到答题权的概率分别为，，A，B每一轮答对的概率都为，且两人每轮是否回答正确均相互独立．
(1)求经过2轮抢答A赢得比赛的概率；：
(2)设经过抢答了X轮后决赛结束，求随机变量X的分布列和数学期望．

8 . 一项比赛的预选赛由n道题目组成，小李同学答对每道题目的概率都是，且各题是否答对相互独立．
(1)若n道题目全部作答，记X为小李同学答对的题目个数，若X的数学期望，求n的值；
(2)若比赛要求参赛队员按题目顺序逐一作答，并且只要答对一个题目，就可以获得参加复赛的资格；否则继续作答，直到将所有题目全部答完，预选赛结束．记Y为小李同学答错的题目数，若Y的数学期望为，求证：．

9 . 2022年冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”备受人们的欢迎，某大型商场举行抽奖活动，活动奖品为冰墩墩和现金．活动规则：凡是前一天进入商场购物且一次性购物满300元的顾客，第二天上午8点前就可以从若干个抽奖箱（每个箱子装有8张卡片，3张印有“奖”字，5张印有“谢谢参与”，其他完全相同）中选一个箱子并一次性抽出3张卡片，抽到印有“奖”字的卡片才能中奖，抽到1张印有“奖”字的卡片为三等奖，奖励现金10元，抽到2张印有“奖”字的卡片为二等奖，奖励1个冰墩墩，抽到3张印有“奖”字的卡片为一等奖，奖励2个冰墩墩．根据以往数据统计，进入商场购物的顾客中一次性购物满300元的约占．
(1)求每一个参与抽奖的顾客中奖的概率；
(2)设每次参与抽奖活动所得的冰墩墩个数为X，求X的分布列，并估计若某一天有1680人进入商场 购物，该商场第二天应投入的冰墩墩总数．

10 . 甲、乙两人玩如下游戏：两人分别拿出一枚硬币同时扣在桌子上(硬币的正反面自己决定，两人互不影响)，然后把手拿开，如果都是正面，则乙给甲3元，如果都是反面，则乙给甲1元，如果一正一反则甲给乙2元．如此进行下去，把频率当做概率．
(1)若甲出正面的频率0.7，乙出正面的频率为0.5，甲、乙各出硬币一次，求甲的收益X的分布列及数学期望；
(2)这个游戏多次进行下去，乙能否通过调整自己出正面的频率，使得无论甲出正面还是反面，自己都不会输？如果能，求出乙不输时出正面的频率的范围，如果不能，说明理由．