1 . 某商城进行促销活动，购买某产品的顾客可以参加一次游戏：在一个不透明箱子中放入红、蓝、黄三种颜色的小球各1个，顾客从中有放回地取出小球，直到取出的小球集齐了三种颜色则停止取球．设顾客停止取球时，取过的小球次数为，
(1)求；
(2)设，数列，求的通项公式；
(3)顾客停止取球时，取过的小球次数为，顾客可以获得对应的元奖金，其中，求证：．

2 . 如图为英国生物学家高尔顿设计的“高尔顿板”示意图，每一个黑点代表钉在板上的一颗钉子，下方有从左至右依次编号为的格子（此时钉子层数为）.当小球从板口下落时，它将碰到钉子并有的概率向左或向右滚下，继续碰至下一层钓子，依次类推落入底部格子.记小球落入格子的编号为.定义.

(1)直接写出时的分布列；
(2)证明：；
(3)改变格子个数（钉子层数相应改变），进行次实验，第且次实验中向格子最大编号为的高尔顿板中投入个小球，记所有实验中所有小球落入的格子编号之和为.已知无交集的独立事件的期望具有累加性，设每次实验､每次投球相互独立，求关于的表达式.

4 . 设的所有可能取值为，称（）为二维离散随机变量的联合分布列，用表格表示为：

Y X			…		…
			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…	…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…	…
			…		…
			…		…		1

仿照条件概率的定义，有如下离散随机变量的条件分布列：定义，对于固定的，若，则称为给定条件下的条件分布列．
离散随机变量的条件分布的数学期望（若存在）定义如下：．
(1)设二维离散随机变量的联合分布列为

Y X	1	2	3
1	0.1	0.3	0.2	0.6
2	0．05	0.2	0.15	0.4
	0.15	0.5	0.35	1

求给定条件下的条件分布列；
(2)设为二维离散随机变量，且存在，证明：；
(3)某人被困在有三个门的迷宫里，第一个门通向离开迷宫的道，沿此道走30分钟可走出迷宫；第二个门通一条迷道，沿此迷道走50分钟又回到原处；第三个门通一条迷道，沿此迷道走70分钟也回到原处．假定此人总是等可能地在三个门中选择一个，试求他平均要用多少时间才能走出迷宫．

6 . 五一小长假到来，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去成都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：在一个足够长的直线轨道的中心处有一个会走路的机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择向前行走或向后行走，且每一步的距离均相等，若机器人走完这些步数后，恰好回到初始位置，则视为胜利.
(1)若小明设定机器人一共行走4步，记机器人的最终位置与初始位置的距离为步，求的分布列和期望；
(2)记为设定机器人一共行走步时游戏胜利的概率，求，并判断当为何值时，游戏胜利的概率最大；
(3)该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后，恰好第一次回到初始位置，才视为胜利.小明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大，于是求助正在读大学的哥哥，哥哥告诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑：将个0和个1排成一排，若对任意的，在前个数中，0的个数都不少于1的个数，则满足条件的排列方式共有种，其中，的结果被称为卡特兰数.若记为设定机器人行走步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明：对（2）中的，有

7 . 某大学有甲､乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均为，每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为，已知的分布列如下：（其中）

	0	1	2	3

(1)记事件表示王同学假期三天内去运动场锻炼次，事件表示王同学在这三天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数.当时，试根据全概率公式求的值；
(2)是否存在实数，使得？若存在，求的值：若不存在，请说明理由；
(3)记表示事件“甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”，表示事件“王同学去甲运动场锻炼”，.已知王同学在甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率，比不举办抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率大，证明：.