1 . 某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）写出a的值；
（2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；
（3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望.

2 . 景泰蓝（），中国的著名特种金属工艺品之一，到明代景泰年间这种工艺技术制作达到了最巅峰，因制作出的工艺品最为精美而闻名，故后人称这种瓷器为“景泰蓝”．其制作过程中有“掐丝”这一环节，某大型景泰蓝掐丝车间共有员工10000人，现从中随机抽取100名对他们每月完成合格品的件数进行统计．得到如下统计表：

每月完成合格品的件数
频数	10	45	35	6	4
女员工人数	3	22	17	5	3

（1）若每月完成合格品的件数超过18件，则车间授予“工艺标兵”称号，由以上统计表填写下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为“工艺标兵”称号与性别有关；

	非“工艺标兵”	“工艺标兵”	总计
男员工人数
女员工人数
合计

（2）为提高员工的工作积极性，该车间实行计件工资制：每月完成合格品的件数在12件以内（包括12件），每件支付员工200元，超出的部分，每件支付员工220元，超出的部分，每件支付员工240元，超出4件以上的部分，每件支付员工260元，将这4段频率视为相应的概率，在该车间男员工中随机抽取2人，女员工中随机抽取1人进行工资调查，设实得计件工资超过3320元的人数为，求的分布列和数学期望．
附：，其中．

	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

3 . 某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困.救援队从入口进入之后有、两条巷道通往作业区（如图），巷道有、、三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是；巷道有、两个易堵塞点，被堵塞的概率分别为、.

（1）求巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；
（2）若巷道中堵塞点个数为，求的期望；
（3）按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线”的标准，请你帮助救援队选择一条抢险路线，并说明理由.

4 . 某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.
方案一：一个不透明的盒子中装有15个质地均匀且大小相同的小球，其中5个红球，10个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次.
方案二：一个不透明的盒子中装有15个质地均匀且大小相同的小球，其中5个红球，10个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得100元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3次.
（1）现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得240元返金券的概率；
（2）若某顾客获得抽奖机会.
①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望；
②该顾客选择哪一种抽奖方案才能获得更多的返金券？

5 . 在某公司举行的年会中，为了表彰年度优秀员工，该公司特意设置了一个抽奖环节，其规则如下：一个不透明的箱子中装有形状大小相同的两个红色和四个绿色的小球，从箱子中一次取出两个小球，同色奖励，不同色不奖励，每名优秀员工仅有一次抽奖机会.若取出的两个均为红色，奖励2000元；若两个均为绿色，奖励1000元
（1）求优秀员工小张获得2000元的概率；
（2）若一对夫妻均为年度优秀员工，求这对夫妻获得的奖励总金额的分布列和数学期望.

6 . 某工厂生产了一批零件，从中随机抽取100个作为样本，测出它们的长度（单位：厘米），按数据分成，，，，5组，得到如图所示的频率分布直方图.以这100个零件的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率.

（1）估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；
（2）规定零件长度在区间内的零件为优等品，从这批零件中随机抽取3个，记抽到优等品的个数为X，求X的分布列和数学期望.

7 . 新高考取消文理科，实行“”模式，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人，并把调查结果制成下表：

年龄（岁）
频数	5	15	10	10	5	5
了解	4	12	6	5	2	1

（1）把年龄在称为中青年，年龄在称为中老年，请根据上表完成列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？

	了解新高考	不了解新高考	总计
中青年
中老年
总计

附：.

	0.050	0.010	0.001
	3.841	6.635	10.828

（2）若从年龄在的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为，求的分布列以及.

8 . 甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答3道题，每人答对每道题的概率均为，且各人是否答对每道题互不影响.
（Ⅰ）用表示甲同学答对题目的个数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”，求事件发生的概率.

9 . 某企业打算处理一批产品，这些产品每箱100件，以箱为单位销售.已知这批产品中每箱出现的废品率只有或者两种可能，两种可能对应的概率均为0.5.假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱.现处理价格为每箱8400元，遇到废品不予更换.以一箱产品中正品的价格期望值作为决策依据.
（1）在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；
（2）现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验.
①若此箱出现的废品率为，记抽到的废品数为，求的分布列和数学期望；
②若已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，判断是否可以购买.

10 . 根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位（单位：米）的频率分布直方图如下.将河流水位在，，，，，，各段内的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位变化互不影响.

（1）求未来4年中，至少有2年该河流水位的概率（结果用分数表示）.
（2）已知该河流对沿河工厂的影响如下：当时，不会造成影响；当时，损失50000元；当时，损失300000元.为减少损失，工厂制定了三种应对方案.
方案一：不采取措施；
方案二：防御不超过30米的水位，需要工程费用8000元；
方案三：防御34米的最高水位，需要工程费用20000元.
试问哪种方案更好，请说明理由.