2024高三·全国·专题练习
1 . 某校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率,随机抽查了高一年级100位学生的某次数学成绩(单位:分),得到如下所示的频率分布直方图:(1)估计这100位学生的数学成绩的平均值;(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)
(2)根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩近似地服从正态分布,经计算,(1)中样本的标准差s的近似值为10,用样本平均数作为的近似值,用样本标准差s作为的估计值,现任抽取一位学生,求他的数学成绩恰在64分到94分之间的概率;(若随机变量,则,,)
(3)该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习,提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性,特意在微信上设计了一个每日作业小程序,每当学生提交的作业获得优秀时,就有机会参与一次小程序中”玩游戏,得奖励积分”的活动,开学后可根据获得积分的多少向老师领取相应的小奖品.小程序页面上有一列方格,共15格,刚开始有只小兔子在第1格,每点一下游戏的开始按钮,小兔子就沿着方格跳一下,每次跳1格或跳2格,概率均为,依次点击游戏的开始按钮,直到小兔子跳到第14格(奖励0分)或第15格(奖励5分)时,游戏结束,每天的积分自动累加,设小兔子跳到第格的概率为,试证明是等比数列,并求(获胜的概率)的值.
(2)根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩近似地服从正态分布,经计算,(1)中样本的标准差s的近似值为10,用样本平均数作为的近似值,用样本标准差s作为的估计值,现任抽取一位学生,求他的数学成绩恰在64分到94分之间的概率;(若随机变量,则,,)
(3)该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习,提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性,特意在微信上设计了一个每日作业小程序,每当学生提交的作业获得优秀时,就有机会参与一次小程序中”玩游戏,得奖励积分”的活动,开学后可根据获得积分的多少向老师领取相应的小奖品.小程序页面上有一列方格,共15格,刚开始有只小兔子在第1格,每点一下游戏的开始按钮,小兔子就沿着方格跳一下,每次跳1格或跳2格,概率均为,依次点击游戏的开始按钮,直到小兔子跳到第14格(奖励0分)或第15格(奖励5分)时,游戏结束,每天的积分自动累加,设小兔子跳到第格的概率为,试证明是等比数列,并求(获胜的概率)的值.
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解题方法
2 . 正态分布是最重要的一种概率分布,它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出,但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究,故正态分布又称为高斯分布,记作.当,的正态分布称为标准正态分布,如果令,则可以证明,即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布,如果,那么对任意的a,通常记,也就是说,表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积,为了解某市高三数学复习备考情况,该市教研机构组织了一次模拟考试、研究发现,本次检测的数学成绩X近似服从正态分布.则下列说法正确的有( )
参考数据:可供查询的(部分)标准正态分布对应的概率值.
参考数据:可供查询的(部分)标准正态分布对应的概率值.
a | 0.24 | 0.25 | 0.26 | 0.35 | 0.36 |
0.5948 | 0.5987 | 0.6064 | 0.6368 | 0.6406 |
A.已知,则 |
B. |
C.按以往的统计数据,该市数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占,据此估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为108(精确到整数) |
D.已知该市考生约有10000名,某学生此次检测数学成绩为110分,则该学生在全市排名大概位于名之间 |
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名校
解题方法
3 . 正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量,定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的,,三个元件组成,在电源电压正常的情况下,至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行,电源及各元件之间工作相互独立.
(1)已知电源电压(单位:)服从正态分布,且的累积分布函数为,求;
(2)在数理统计中,指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量(单位:天)表示某高稳定性元件的使用寿命,且服从指数分布,其累积分布函数为.
(ⅰ)设,证明:;
(ⅱ)若第天元件发生故障,求第天系统正常运行的概率.
附:若随机变量服从正态分布,则,,.
(1)已知电源电压(单位:)服从正态分布,且的累积分布函数为,求;
(2)在数理统计中,指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量(单位:天)表示某高稳定性元件的使用寿命,且服从指数分布,其累积分布函数为.
(ⅰ)设,证明:;
(ⅱ)若第天元件发生故障,求第天系统正常运行的概率.
附:若随机变量服从正态分布,则,,.
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名校
4 . 某汽车公司最新研发了一款新能源汽车,并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程(理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程)的测试.现对测试数据进行整理,得到如下的频率分布直方图:(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(2)由频率分布直方图计算得样本标准差s的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据,可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布,其中μ近似为样本平均数,σ近似为样本标准差S.
(ⅰ)利用该正态分布,求;
(ⅱ)假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车,记Z表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程位于区间(250.25,399.5)的车辆数,求E(Z);
参考数据:若随机变量ξ服从正态分布,则,.
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车,现面向意向客户推出“玩游戏,送大奖”活动,客户可根据抛掷硬币的结果,操控微型遥控车在x轴上从原点O出发向右运动,已知硬币出现正、反面的概率都,客户每掷一次硬币,遥控车向右移动一次,若掷出正面,则遥控车向移动一个单位,若掷出反面,则遥控车向右移动两个单位,直到遥控车移到点(59,0)(胜利大本营)或点(60,0)(失败大本营)时,游戏结束,若遥控车最终停在“胜利大本营”,则可获得购车优惠券.设遥控车移到点的概率为,试证明数列是等比数列,求出数列的通项公式,并比较和的大小.
(2)由频率分布直方图计算得样本标准差s的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据,可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布,其中μ近似为样本平均数,σ近似为样本标准差S.
(ⅰ)利用该正态分布,求;
(ⅱ)假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车,记Z表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程位于区间(250.25,399.5)的车辆数,求E(Z);
参考数据:若随机变量ξ服从正态分布,则,.
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车,现面向意向客户推出“玩游戏,送大奖”活动,客户可根据抛掷硬币的结果,操控微型遥控车在x轴上从原点O出发向右运动,已知硬币出现正、反面的概率都,客户每掷一次硬币,遥控车向右移动一次,若掷出正面,则遥控车向移动一个单位,若掷出反面,则遥控车向右移动两个单位,直到遥控车移到点(59,0)(胜利大本营)或点(60,0)(失败大本营)时,游戏结束,若遥控车最终停在“胜利大本营”,则可获得购车优惠券.设遥控车移到点的概率为,试证明数列是等比数列,求出数列的通项公式,并比较和的大小.
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2024-10-14更新
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519次组卷
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4卷引用:山西省长治市2024-2025学年高三上学期9月质量监测数学试题
山西省长治市2024-2025学年高三上学期9月质量监测数学试题(已下线)第五章 概率统计创新问题 专题二 概率统计与数列交汇 微点1 概率统计与数列交汇(一)【培优版】辽宁省三校2025届高三上学期10月联合教学质量检测数学试卷重庆市乌江新高考协作体2025届高三上学期高考质量调研(二)(10月)数学试题
5 . 正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量X,定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的A,B,C三个元件组成(如图),在电源电压正常的情况下,至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行,电源及各元件之间工作相互独立.(1)已知电源电压X(单位:V)服从正态分布,且X的积累分布函数为,求;
(2)在数理统计中,指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量T(单位:天)表示某高稳定性元件的使用寿命,且服从指数分布,其累计分布函数为.设,证明:;
附:若随机变量Y服从正态分布,则,,.
(2)在数理统计中,指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量T(单位:天)表示某高稳定性元件的使用寿命,且服从指数分布,其累计分布函数为.设,证明:;
附:若随机变量Y服从正态分布,则,,.
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6 . 某手机销售商为了了解一款手机的销量情况,对近100天该手机的日销售量(单位:部)进行了统计,经计算得到了样本的平均值,样本的标准差.
(1)经分析,可以认为该款手机的日销售量近似服从正态分布,用样本的平均值作为的近似值,用样本的标准差作为的近似值,现任意选取一天,试估计这一天该款手机的销量恰好在之间的概率;
(2)为了促销,该销售商推出了“摸小球、送手机”的活动,活动规则为:①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动;②箱子中装有红球2个和白球4个,如果摸到的是白球,则获得1个积分,如果摸到的是红球,则获得2个积分.放回后进行下一次摸取.设顾客的初始积分为0,顾客的积分之和为的概率为,
(ⅰ)求的值,并证明:数列是等比数列;
(ⅱ)销售商家规定当积分之和达到19或20时,游戏结束,如果最终积分为19,顾客获得二等奖,手机的售价减免1000元;如果最终的积分为20,顾客获得一等奖,手机的售价减免2000元.活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机,且都参加了活动,试估计获得一等奖的顾客人数.(结果四舍五入取整数)
参考数据:若随机变量,则,
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(1)经分析,可以认为该款手机的日销售量近似服从正态分布,用样本的平均值作为的近似值,用样本的标准差作为的近似值,现任意选取一天,试估计这一天该款手机的销量恰好在之间的概率;
(2)为了促销,该销售商推出了“摸小球、送手机”的活动,活动规则为:①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动;②箱子中装有红球2个和白球4个,如果摸到的是白球,则获得1个积分,如果摸到的是红球,则获得2个积分.放回后进行下一次摸取.设顾客的初始积分为0,顾客的积分之和为的概率为,
(ⅰ)求的值,并证明:数列是等比数列;
(ⅱ)销售商家规定当积分之和达到19或20时,游戏结束,如果最终积分为19,顾客获得二等奖,手机的售价减免1000元;如果最终的积分为20,顾客获得一等奖,手机的售价减免2000元.活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机,且都参加了活动,试估计获得一等奖的顾客人数.(结果四舍五入取整数)
参考数据:若随机变量,则,
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7 . 我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量,服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理,它表明,若随机变量,当充分大时,二项随机变量可以由正态随机变量来近似,且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了的特殊情形,1812年,拉普拉斯对一般的进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次,则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为( )(附:若,则
A.0.1587 | B.0.0228 | C.0.0027 | D.0.0014 |
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名校
8 . 2024年3月某学校举办了春季科技体育节,其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍,本次比赛启用了新的排球用球,已知这种球的质量指标(单位:)服从正态分布,其中.比赛赛制采取单循环方式,即每支球队进行11场比赛,最后靠积分选出最后冠军,积分规则如下(比赛采取5局3胜制):比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分,负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分,负队积1分.9轮过后,积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队,1班排球队积26分,2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队,设每局比赛1班排球队取胜均概率为.
(1)令,则,且,求,并证明:;
(2)第10轮比赛中,记1班排球队3:1取胜的概率为,求出的最大值点;
(3)以(2)中作为的值,在第10轮比赛中,1班排球队所得积分为,求的分布列.
参考数据:,则,.
(1)令,则,且,求,并证明:;
(2)第10轮比赛中,记1班排球队3:1取胜的概率为,求出的最大值点;
(3)以(2)中作为的值,在第10轮比赛中,1班排球队所得积分为,求的分布列.
参考数据:,则,.
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名校
9 . 树人中学高三(1)班某次数学质量检测(满分150分)的统计数据如下表:
在按比例分配分层随机抽样中,已知总体划分为2层,把第一层样本记为,其平均数记为,方差记为;把第二层样本记为,其平均数记为,方差记为;把总样本数据的平均数记为,方差记为.
(1)证明:;
(2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差(精确到1);
(3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布,以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为和的估计值.如果按照的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为四个等级,试确定各等级的分数线(精确到1).
附:.
性别 | 参加考试人数 | 平均成绩 | 标准差 |
男 | 30 | 100 | 16 |
女 | 20 | 90 | 19 |
(1)证明:;
(2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差(精确到1);
(3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布,以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为和的估计值.如果按照的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为四个等级,试确定各等级的分数线(精确到1).
附:.
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2024-04-26更新
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2491次组卷
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10卷引用:安徽省合肥市2024届高三第二次教学质量检测数学试卷
安徽省合肥市2024届高三第二次教学质量检测数学试卷山东省日照市五莲县第一中学2024届高考模拟预测(一)数学试题河南省信阳高级中学2024届高三5月测试(一)二模数学试题(已下线)专题12 学科素养与综合问题(解答题17)广东省广州市广东实验中学2023-2024学年高三下学期教学情况测试(二)数学试卷A安徽省六安市四校2024届高三下学期4月联考数学试卷(已下线)周测19 概率与统计 (高三一轮复盘卷)(已下线)第08讲 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布(十一大题型)(讲义)-2贵州省铜仁第一中学2024届高三6月保温测试卷数学试题山东省青岛第五十八中学2024届高三下学期第一次模拟考试数学试题
2024高三·全国·专题练习
解题方法
10 . 在三维空间中,立方体的坐标可用三维坐标表示,其中.而在n维空间中,以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标,其中.现有如下定义:在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和,即为.回答下列问题:
(1)求出n维“立方体”的顶点数;
(2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点,记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离
①求出X的分布列与期望;
②证明:在n足够大时,随机变量X的方差小于.
(1)求出n维“立方体”的顶点数;
(2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点,记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离
①求出X的分布列与期望;
②证明:在n足够大时,随机变量X的方差小于.
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