名校
解题方法
1 . 正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量
，定义其累积分布函数为
．已知某系统由一个电源和并联的
，
，
三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立．
(1)已知电源电压（单位：
）服从正态分布
，且的累积分布函数为
，求
；
(2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量
（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为
.
（ⅰ）设
，证明：
；
（ⅱ）若第
天元件发生故障，求第
天系统正常运行的概率．
附：若随机变量
服从正态分布
，则
，
，
．
，定义其累积分布函数为．已知某系统由一个电源和并联的，，三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立．(1)已知电源电压
（单位：）服从正态分布，且的累积分布函数为，求；(2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量
（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为.（ⅰ）设
，证明：；（ⅱ）若第
天元件发生故障，求第天系统正常运行的概率．附：若随机变量
服从正态分布，则，，．
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2024-02-20更新
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1247次组卷
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3卷引用：2024届高三星云二月线上调研考试数学试题
名校
2 . 树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表：
在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为
，其平均数记为
，方差记为
；把第二层样本记为
，其平均数记为
，方差记为
；把总样本数据的平均数记为
，方差记为
．
(1)证明：
；
(2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）；
(3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布
，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为
和
的估计值．如果按照
的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为
四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）．
附：
．
| 性别 | 参加考试人数 | 平均成绩 | 标准差 |
| 男 | 30 | 100 | 16 |
| 女 | 20 | 90 | 19 |
，其平均数记为，方差记为；把第二层样本记为，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为．(1)证明：
；(2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）；
(3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布
，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为和的估计值．如果按照的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）．附：
．
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2024-04-26更新
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1972次组卷
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4卷引用：安徽省合肥市2024届高三第二次教学质量检测数学试卷
安徽省合肥市2024届高三第二次教学质量检测数学试卷山东省日照市五莲县第一中学2024届高考模拟预测(一)数学试题河南省信阳高级中学2024届高三5月测试（一）二模数学试题（已下线）专题12 学科素养与综合问题（解答题17）
名校
解题方法
3 . 正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作
．当
，
的正态分布称为标准正态分布，如果令
，则可以证明
，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布．如果那么对任意的a，通常记
，也就是说，
表示
对应的正态曲线与x轴在区间
内所围的面积．某校高三年级800名学生，期中考试数学成绩近似服从正态分布，高三年级数学成绩平均分100，方差为36，
，那么成绩落在
的人数大约为（ ）
．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布．如果那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积．某校高三年级800名学生，期中考试数学成绩近似服从正态分布，高三年级数学成绩平均分100，方差为36，，那么成绩落在的人数大约为（ ）| A．756 | B．748 | C．782 | D．764 |
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2022-01-23更新
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1908次组卷
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10卷引用：辽宁省鞍山市第一中学2021-2022学年高三下学期4月线上模拟考试数学试卷
辽宁省鞍山市第一中学2021-2022学年高三下学期4月线上模拟考试数学试卷辽宁省葫芦岛市2021-2022学年高三上学期期末数学试题（已下线）第03讲 正态分布-【帮课堂】2021-2022学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第二册）辽宁省朝阳市建平县实验中学2021-2022学年高二下学期第二次月考数学试卷（已下线）正态分布（已下线）7.5 正态分布（练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）8.3 正态分布（练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册）（已下线）第七章 随机变量及其分布 全章总结 (精讲）（3）辽宁省沈阳市第十五中学2022-2023学年高二下学期4月月考数学试题（已下线）第八章 概率（单元重点综合测试）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（苏教版2019选择性必修第二册）
名校
4 . 我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量
，当n充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了
的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的p进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为（ ）（附：若
，则
，
，
）
，当n充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的p进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为（ ）（附：若，则，，）| A．0.1587 | B．0.0228 | C．0.0027 | D．0.0014 |
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2022-05-13更新
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2091次组卷
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16卷引用：福建省厦门市2022届高三毕业班第四次质量检测数学试题
福建省厦门市2022届高三毕业班第四次质量检测数学试题四川省成都市简阳市阳安中学2023届高三三诊模拟考试数学（理科）试题陕西省西安市陕西师范大学附属中学渭北中学2023届高三三模理科数学试题福建省龙岩第一中学2021-2022学年高二下学期第二次月考数学试题（已下线）专题12 四大分布：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布-2021-2022学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）（已下线）期末押题预测卷04（考试范围：选修二+选修三）-2021-2022学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）（已下线）8.3 分布列（精练）（已下线）考向43二项分布、正太分布及其应用（重点）-2（已下线）江苏省盐城市、南京市2022届高三上学期1月第一次模拟考试数学试题变式题1-5江西省南昌市第十中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题（已下线）第七章 随机变量及其分布 全章总结 (精讲）（3）新疆石河子第一中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题河北省石家庄市2022-2023学年高二下学期期末数学试题福建省厦门第一中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题吉林省长春市十一高中2022-2023学年高二下学期期末数学试题河北省石家庄四十一中2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题
5 . 从2020年开始，部分高校实行强基计划，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，越来越多的学生通过参加数学竞赛来证明自己的数学实力.某省举行的数学联赛初赛有10000名学生参加，成绩数据服从正态分布N（80，100），现随机抽取了某市50名参赛学生的初赛成绩进行分析，发现他们的成绩全部位于区间[50，110]内.将成绩分成6组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，110]，得到如图所示的频率分布直方图，该50名学生成绩的平均分是77分.
（1）求a，b的值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）.
（2）（i）若要在全省选拔15.865%的同学通过初赛进入决赛，则分数线应定为多少？
（ii）若给成绩位于全省前228名的同学颁发初赛一等奖的证书，现从本市这50名同学里面能成功进入决赛的同学中任意抽取3人，记这3人中得到初赛一等奖的数为X，求X的分布列和数学期望.
附：若X~N（μ，σ²），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X＜μ+2σ）≈0.9545，P(μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973.
（1）求a，b的值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）.
（2）（i）若要在全省选拔15.865%的同学通过初赛进入决赛，则分数线应定为多少？
（ii）若给成绩位于全省前228名的同学颁发初赛一等奖的证书，现从本市这50名同学里面能成功进入决赛的同学中任意抽取3人，记这3人中得到初赛一等奖的数为X，求X的分布列和数学期望.
附：若X~N（μ，σ²），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X＜μ+2σ）≈0.9545，P(μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973.
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名校
解题方法
6 . 给出下列命题，其中真命题为（ ）
①用数学归纳法证明不等式
时，当
时，不等式左边应在
的基础上加上
；
②若命题
：
，
，则
：
，
；
③若
，
，
，则
；
④随机变量
，若
，则
.
①用数学归纳法证明不等式
时，当时，不等式左边应在的基础上加上；②若命题
：，，则：，；③若
，，，则；④随机变量
，若，则.| A．①②④ | B．①④ | C．②④ | D．②③ |
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2020-10-16更新
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495次组卷
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7卷引用：黑龙江省哈尔滨第三中学2020届高三第五次模拟考试理科数学试题
黑龙江省哈尔滨第三中学2020届高三第五次模拟考试理科数学试题黑龙江省哈尔滨三中2020届高三高考数学（理科）五模试题黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三第五次模拟考试数学（理）试题四川省宜宾市叙州区第一中学校2020-2021学年高三上学期第一次月考数学（理）试题（已下线）第十二单元 算法初步与推理证明 (A卷 基础过关检测）-2021年高考数学（文）一轮复习单元滚动双测卷（已下线）第十三单元 算法初步与推理证明 (A卷 基础过关检测）-2021年高考数学（理）一轮复习单元滚动双测卷（已下线）考点44 数学归纳法-备战2022年高考数学（理）一轮复习考点微专题
解题方法
7 . 十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫.某县积极引导农民种植一种名贵中药材，从而大大提升了该县村民的经济收入.2019年年底，该机构从该县种植的这种名贵药材的农户中随机抽取了100户，统计了他们2019年因种植，中药材所获纯利润(单位：万元)的情况(假定农户因种植中药材这一项一年最多获利11万元)，统计结果如下表所示：
（1）由表可以认为，该县农户种植中药材所获纯利润Z(单位：万元)近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数(每组数据取区间的中点值)，
近似为样本方差
.若该县有1万户农户种植了该中药材，试估算所获纯利润Z在区间(1.9，8.2)的户数；
（2）为答谢广大农户的积极参与，该调查机构针对参与调查的农户举行了抽奖活动，抽奖规则如下：在一箱子中放置5个除颜色外完全相同的小球，其中红球1个，黑球4个.让农户从箱子中随机取出一个小球，若取到红球，则抽奖结束；若取到黑球，则将黑球放回箱中，让他继续取球，直到取到红球为止(取球次数不超过10次).若农户取到红球，则视为中奖，获得2000元的奖励，若一直未取到红球，则视为不中奖.现农户张明参加了抽奖活动，记他中奖时取球的次数为随机变量X，他取球的次数为随机变量Y.
①证明：
为等比数列；
②求Y的数学期望.(精确到0.001)
参考数据：
.若随机变量
则
.
| 分组 | [1,3) | [3,5) | [5,7) | [7,9) | [9,11) |
| 频数 | 10 | 15 | 45 | 20 | 10 |
（1）由表可以认为，该县农户种植中药材所获纯利润Z(单位：万元)近似地服从正态分布
，其中近似为样本平均数(每组数据取区间的中点值)，近似为样本方差.若该县有1万户农户种植了该中药材，试估算所获纯利润Z在区间(1.9，8.2)的户数；（2）为答谢广大农户的积极参与，该调查机构针对参与调查的农户举行了抽奖活动，抽奖规则如下：在一箱子中放置5个除颜色外完全相同的小球，其中红球1个，黑球4个.让农户从箱子中随机取出一个小球，若取到红球，则抽奖结束；若取到黑球，则将黑球放回箱中，让他继续取球，直到取到红球为止(取球次数不超过10次).若农户取到红球，则视为中奖，获得2000元的奖励，若一直未取到红球，则视为不中奖.现农户张明参加了抽奖活动，记他中奖时取球的次数为随机变量X，他取球的次数为随机变量Y.
①证明：
为等比数列；②求Y的数学期望.(精确到0.001)
参考数据：
.若随机变量则.
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名校
8 . 某市旅游局为尽快恢复受疫情影响的旅游业，准备在本市的景区推出旅游一卡通(年卡).为了更科学的制定一卡通的有关条例，市旅游局随机调查了2019年到本市景区旅游的1000个游客的年旅游消费支出(单位：百元)，并制成如下频率分布直方图：
由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其旅游消费支出服从正态分布
，其中近似为样本平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表).
（1） 若2019年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2019年有多少游客在本市的年旅游消费支出不低于1820元；
（2） 现依次抽取个游客，假设每个游客的旅游消费支出相互独立，记事件
表示“连续3人的旅游消费支出超出”.若
表示
的概率，
为常数)，且
.
（ⅰ）求
，
及
，
；
（ⅱ）判断并证明数列
从第三项起的单调性，试用概率统计知识解释其实际意义.
参考数据：
，
，
由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其旅游消费支出服从正态分布
，其中近似为样本平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表).（1） 若2019年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2019年有多少游客在本市的年旅游消费支出不低于1820元；
（2） 现依次抽取
个游客，假设每个游客的旅游消费支出相互独立，记事件表示“连续3人的旅游消费支出超出”.若表示的概率，为常数)，且.（ⅰ）求
，及，；（ⅱ）判断并证明数列
从第三项起的单调性，试用概率统计知识解释其实际意义.参考数据：，，
您最近一年使用：0次
2020-05-07更新
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470次组卷
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2卷引用：湖北省黄冈中学2020届高三下学期6月第三次模拟考试理科数学试题
