1 . 容器中有种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗B粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子.例如，一颗A粒子和一颗B粒子发生碰撞则变成一颗C粒子，现有A粒子10颗，B粒子8颗，C粒子9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗粒子.给出下列结论：
①最后一颗粒子可能是A粒子；
②最后一颗粒子可能是B粒子；
③最后一颗粒子可能是C粒子；
其中正确结论的序号是______.（写出所有正确结论的序号）

2 . 设为正整数，若满足：①，，2，…，；②对于，均有．则称具有性质．对于和，定义集合．
（1）设，若具有性质，写出一个及相应的；
（2）设和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由；
（3）设和具有性质，对于给定的，求证：满足的有偶数个．

3 . 设为不超过的最大整数，为可能取到所有值的个数，是数列前项的和，则下列四个结论中正确的个数为（       ）
①
②2020是数列中的项
③
④

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

4 . 在数列的极限一节，课本中给出了计算由抛物线、轴以及直线所围成的曲边区域面积的一种方法：把区间平均分成份，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线上（如图），则当时，这些小矩形面积之和的极限就是.已知.利用此方法计算出的由曲线、轴以及直线所围成的曲边区域的面积为（       ）

A．

B．

C．

D．

5 . （1）在圆中有这样的结论：对圆上任意一点，设、是圆和轴的两交点，且直线和的斜率都存在，则它们的斜率之积为定值-1.试将该结论类比到椭圆，并给出证明.
（2）已知椭圆，，，设直线与椭圆交于不同于、的两点、，记直线、、的斜率分别为、、.
（ⅰ）若直线过定点，则是否为定值.若是，请证明；若不是，请说明理由.
（ⅱ）若，求所有整数，使得直线变化时，总有.

6 . “解方程”有如下思路:设，则在上为减函数，且，故原方程有唯一解.类比上述解题思路，不等式的解集为___________.

7 . （1）求证：椭圆中斜率为的平行弦的中点轨迹必过椭圆中心；
（2）用作图方法找出下面给定椭圆的中心；
（3）我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，.如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点. 连结“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值，若不存在，说明理由.