1 . 设整数集合，其中，且对于任意，若，则．
(1)请写出一个满足条件的集合A；
(2)证明：任意，．

2 . 已知集合是集合的一个含有8个元素的子集.
(1)当时，设，（i）写出方程的解；（ii）若方程至少有三组不同的解，写出k的所有可能取值；
(2)证明：对任意一个X，存在正整数k，使得方程至少有三组不同的解.

4 . 已知，均为正数，并且，给出下列四个结论：
①中小于1的数最多只有一个；
②中小于2的数最多只有两个；
③中最大的数不小于2022；
④中最小的数不小于．
其中所有正确结论的序号为_________．

5 . 若无穷数列的各项均为整数．且对于，都存在，使得，则称数列满足性质P．
(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①，，，，…；
②，，，，…．
(2)若数列满足性质P，且，求证：集合为无限集；
(3)若周期数列满足性质P，请写出数列的通项公式（不需要证明）．

6 . 记无穷数列的前n项中最大值为，最小值为，令．
(1)若，请写出的值；
(2)求证：“数列是递增的等差数列”是“数列是递增的等差数列”的充要条件；
(3)若，求证：存在，使得，有．

8 . 对于数列A：，满足，若存在一个正整数），使得数列中存在连续的项与该数列中另一个连续的项恰好按次序对应相等，则称数列是“阶可重复数列”".例如数列.因为与按次序对应相等，所以数列是“4阶可重复数列”.
(1)判断数列.是不是“5阶可重复数列”'？如果是，请写出重复的这5项；
(2)若项数为的数列一定是“3阶可重复数列”，则的最小值是多少？说明理由；
(3)假设数列不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是"5阶可重复数列"，且，求数列的最后一项的值.