1 . 设数列满足，．
(1)计算，猜想的通项公式并加以证明；
(2)求数列，求的前项和．

2 . 记直线为曲线的渐近线．若，过作轴的垂线交于点，过作轴的垂线交于点，再过作轴的垂线交于点依此规律下去，得到点列，，，和点列，，，，为正整数．记的横坐标为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：．

3 . 在数列中，为正整数.
(1)若数列为常数列，求的通项；
(2)若，用数学归纳法证明：.

4 . 已知数列满足
(1)求出项，并由此猜想的通项公式
(2)用数学归纳法证明的通项公式

5 . 已知函数的图象按向量平移后得到的图象，数列满足（且）．
(1)若，满足，求证：数列是等差数列；
(2)若，试判断数列中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项，若不存在，请说明理由；
(3)若，试证明：．

6 . 记实数、中较小者为，例如，，对于无穷数列，记.若对任意均有，则称数列为“趋向递增数列”.
(1)已知数列、的通项公式分别为，，判断数列、是否为“趋向递增数列”？并说明理由；
(2)已知首项为，公比为的等比数列是“趋向递增数列”，求公比的取值范围；
(3)若数列满足、为正实数，且，求证：数列为“趋向递增数列”的必要非充分条件是中没有.

7 . 观察下面等式：写出由这些等式归纳的一般规律，用数学归纳法证明．

8 . 数列对任意且，均存在正整数，满足，，．
(1)求可能值；
(2)若，成立，求数列的通项公式．

9 . 用数学归纳法证明：可以被7整除.

10 . 已知数列中，，其中，且．从条件①与条件②，且中选择一个，结合上面的已知条件，完成下面的问题．
(1)求，，，并猜想的通项公式；
(2)证明（1）中的猜想．