组卷网 > 知识点选题 > 复数代数形式的乘法运算
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解析
| 共计 6 道试题
1 . 1799年,哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理:任何复系数一元次多项式方程在复数域上至少有一根().此定理被称为代数基本定理,在代数乃至整个数学中起着基础作用.由此定理还可以推出以下重要结论:次复系数多项式方程在复数域内有且只有个根(重根按重数计算).对于次复系数多项式,其中,若方程个复根,则有如下的高阶韦达定理:
(1)在复数域内解方程
(2)若三次方程的三个根分别是为虚数单位),求的值;
(3)在的多项式中,已知为非零实数,且方程的根恰好全是正实数,求出该方程的所有根(用含的式子表示).
7日内更新 | 32次组卷 | 1卷引用:贵州省黔南州2024届高三下学期第二次模拟统考数学试题
2 . 对于非空集合,定义其在某一运算(统称乘法)“×”下的代数结构称为“群”,简记为.而判断是否为一个群,需验证以下三点:
1.(封闭性)对于规定的“×”运算,对任意,都须满足
2.(结合律)对于规定的“×”运算,对任意,都须满足
3.(恒等元)存在,使得对任意
4.(逆的存在性)对任意,都存在,使得
记群所含的元素个数为,则群也称作“阶群”.若群的“×”运算满足交换律,即对任意,我们称为一个阿贝尔群(或交换群).
(1)证明:所有实数在普通加法运算下构成群
(2)记为所有模长为1的复数构成的集合,请找出一个合适的“×”运算使得在该运算下构成一个群,并说明理由;
(3)所有阶数小于等于四的群是否都是阿贝尔群?请说明理由.
2024-03-07更新 | 705次组卷 | 4卷引用:2024届高三新高考改革数学适应性练习(九省联考题型)
3 . 数学中的数,除了实数、复数之外,还有四元数.四元数在计算机图形学中有广泛应用,主要用于描述空间中的旋转.集合中的元素称为四元数,其中i,j,k都是虚数单位,d称为的实部,称为的虚部.两个四元数之间的加法定义为
两个四元数的乘法定义为:,四元数的乘法具有结合律,且乘法对加法有分配律.对于四元数,若存在四元数使得,称的逆,记为.实部为0的四元数称为纯四元数,把纯四元数的全体记为W
(1)设,四元数.记表示的共轭四元数.
(i)计算
(ii)若,求
(iii)若,证明:
(2)在空间直角坐标系中,把空间向量与纯四元数看作同一个数学对象.设
(i)证明:;
(ii)若是平面X内的两个不共线向量,证明:X的一个法向量.
2024-02-24更新 | 361次组卷 | 2卷引用:浙江省丽水市第二高级中学2023-2024学年高三下学期开学检测数学试卷
4 . 设是一个关于复数z的表达式,若(其中xy为虚数单位),就称f将点f对应”到点.例如将点f对应”到点
(1)若f对应”到点,点f对应”到点,求点的坐标;
(2)设常数,若直线l,是否存在一个有序实数对,使得直线l上的任意一点“对应”到点后,点Q仍在直线上?若存在,试求出所有的有序实数对;若不存在,请说明理由;
(3)设常数,集合,若满足:①对于集合D中的任意一个元素z,都有;②对于集合A中的任意一个元素,都存在集合D中的元素z使得.请写出满足条件的一个有序实数对,并论证此时的满足条件.
2023-07-05更新 | 755次组卷 | 6卷引用:上海市静安区回民中学2024届高三上学期12月阶段性测试数学试题
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5 . 意大利数学家卡尔达诺(Cardano.Girolamo,1501-1576)发明了三次方程的代数解法.17世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四个步骤:
第一步,把方程中的来替换,得到方程
第二步,利用公式因式分解;
第三步,求得的一组值,得到方程的三个根:(其中为虚数单位);
第四步,写出方程的根:.
某同学利用上述方法解方程时,得到的一个值:,则下列说法正确的是(       
A.B.C.D.
2022-03-09更新 | 2508次组卷 | 9卷引用:福建省莆田市2022届高三3月第二次教学质量检测数学试题
6 . 设复数的实部和虚部都是整数,则(     
A.的实部都能被2 整除
B.的实部都能被3 整除
C.的实部都能被4 整除
D.的实部都能被5 整除
2021-08-28更新 | 806次组卷 | 2卷引用:武汉大学2020年强基计划数学试题
共计 平均难度:一般