1799年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一元
次多项式方程在复数域上至少有一根（
）.此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基础作用.由此定理还可以推出以下重要结论：次复系数多项式方程在复数域内有且只有个根（重根按重数计算）.对于次复系数多项式
，其中
，
，
，若方程
有个复根
，则有如下的高阶韦达定理：
(1)在复数域内解方程
；
(2)若三次方程
的三个根分别是
，
，
（
为虚数单位），求
，
，
的值；
(3)在
的多项式中，已知
，
，
，为非零实数，且方程的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含的式子表示）.
次多项式方程在复数域上至少有一根（）.此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基础作用.由此定理还可以推出以下重要结论：次复系数多项式方程在复数域内有且只有个根（重根按重数计算）.对于次复系数多项式，其中，，，若方程有个复根，则有如下的高阶韦达定理：(1)在复数域内解方程
；(2)若三次方程
的三个根分别是，，（为虚数单位），求，，的值；(3)在
的多项式中，已知，，，为非零实数，且方程的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含的式子表示）.
更新时间：2024-05-18 17:48:42
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
名校
解题方法
【推荐1】已知平面直角坐标系中，点A(a，0)，点B(0，b)(其中a，b为常数，且ab≠0)，点O为坐标原点.
（1）设点P为线段AB上靠近A的三等分点，
，求
的值；
（2）如图所示，设点
是线段AB的n等分点，其中
，
①当n=2020时，求
的值(用含a，b的式子表示)；
②当a=b=1，n=10时，求
的最小值.
(说明：可能用到的计算公式：
.
（1）设点P为线段AB上靠近A的三等分点，
，求的值；（2）如图所示，设点
是线段AB的n等分点，其中，①当n=2020时，求
的值(用含a，b的式子表示)；②当a=b=1，n=10时，求
的最小值.(说明：可能用到的计算公式：
.
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较难
(0.4)
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【推荐2】平面直角坐标系xOy中，已知向量
，
，
，且
．
（1）若已知M（1，1），N（y+1，2），y∈[0，2]，则求出
的范围；
（2）若
，求四边形ABCD的面积．
，，，且．（1）若已知M（1，1），N（y+1，2），y∈[0，2]，则求出
的范围；（2）若
，求四边形ABCD的面积．
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，函数
的解析式；
个单位长度，再把横坐标缩小为原来的
（纵坐标不变），得到函数
的图象，当
时，求方程
的所有根的和．
解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐1】通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对
看作一个向量，记
，则称
为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，
，
、
、
、
、
，我们有如下运算法则：
①
； ②
；
③
； ④
.
(1)设
，
，求
和
.
(2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：
①
②
③
.
试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明.
(3)若
，集合
，
.对于任意的
，求出满足条件
的
，并将此时的记为
，证明对任意的，不等式
恒成立.
根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）.
看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则：①
； ②；③
； ④.(1)设
，，求和.(2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：
①
②
③.试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明.
(3)若
，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立.根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）.
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较难
(0.4)
名校
【推荐2】设
是一个关于复数z的表达式，若
（其中x，y，
，
为虚数单位），就称f将点
“f对应”到点
．例如
将点
“f对应”到点
．
(1)若
点
“f对应”到点
，点
“f对应”到点
，求点、的坐标；
(2)设常数
，
，若直线l：
，
，是否存在一个有序实数对
，使得直线l上的任意一点“对应”到点后，点Q仍在直线
上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由；
(3)设常数，
，集合
且
和
且
，若
满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有
；②对于集合A中的任意一个元素
，都存在集合D中的元素z使得
．请写出满足条件的一个有序实数对
，并论证此时的满足条件．
是一个关于复数z的表达式，若（其中x，y，，为虚数单位），就称f将点“f对应”到点．例如将点“f对应”到点．(1)若
点“f对应”到点，点“f对应”到点，求点、的坐标；(2)设常数
，，若直线l：，，是否存在一个有序实数对，使得直线l上的任意一点“对应”到点后，点Q仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由；(3)设常数
，，集合且和且，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有；②对于集合A中的任意一个元素，都存在集合D中的元素z使得．请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件．
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，设复数
，
，
，且
.
为纯虚数，求
逆时针旋转
后与向量
重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由；
的面积为
，求
