数学奥林匹克高中训练题（157）

全国 高三 竞赛 2019-03-17 527次 整体难度： 适中 考查范围： 竞赛知识点

一、填空题 添加题型下试题

2018高三·全国·竞赛

填空题-单空题 | 适中(0.65)

1. 设、为正整数，且.则=______.

2018-12-29更新 | 264次组卷 | 2卷引用：数学奥林匹克高中训练题（157）

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2018高三·全国·竞赛

填空题-单空题 | 适中(0.65)

2. 设，.则=______（用表示，结果不含三角符号）.

2018-12-29更新 | 170次组卷 | 1卷引用：数学奥林匹克高中训练题（157）

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2018高三·全国·竞赛

填空题-单空题 | 适中(0.65)

3. 设为正方形边的中点，分别在边、上任取两点、.则为锐角的概率为______.

2018-12-29更新 | 135次组卷 | 1卷引用：数学奥林匹克高中训练题（157）

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2018高三·全国·竞赛

填空题-单空题 | 适中(0.65)

4. 设点，为抛物线上一点.则的最小值为______.

2018-12-29更新 | 199次组卷 | 1卷引用：数学奥林匹克高中训练题（157）

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2018高三·全国·竞赛

填空题-单空题 | 适中(0.65)

5. 数列满足，.则的通项公式为______.

2018-12-29更新 | 158次组卷 | 1卷引用：数学奥林匹克高中训练题（157）

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2018高三·全国·竞赛

填空题-单空题 | 适中(0.65)

6. 已知为空间内不与三顶点重合的一点，、、的角平分线分别与三边、、交于点、、.则的最大值为______.

2018-12-29更新 | 191次组卷 | 1卷引用：数学奥林匹克高中训练题（157）

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填空题-单空题 | 适中(0.65)

7. 在三棱锥中，已知底面.若，且，则=______.

2018-12-29更新 | 126次组卷 | 1卷引用：数学奥林匹克高中训练题（157）

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填空题-单空题 | 适中(0.65)

8. 若为正实数，，满足，则的取值范围为______.

2018-12-29更新 | 153次组卷 | 1卷引用：数学奥林匹克高中训练题（157）

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二、解答题 添加题型下试题

2018高三·全国·竞赛

解答题-问答题 | 适中(0.65)

9. 已知上可导函数满足恒成立.若，求的最大值.

2018-12-29更新 | 148次组卷 | 1卷引用：数学奥林匹克高中训练题（157）

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2018高三·全国·竞赛

解答题-问答题 | 适中(0.65)

10. 已知数列满足，，.
（1）求的通项公式；
（2）令，为数列的前项和，证明：.

2018-12-29更新 | 251次组卷 | 1卷引用：数学奥林匹克高中训练题（157）

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2018高三·全国·竞赛

解答题-问答题 | 较难(0.4)

11. 设锐角满足.令，且令，、为任意正实数.证明：.

2018-12-29更新 | 278次组卷 | 1卷引用：数学奥林匹克高中训练题（157）

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2018高三·全国·竞赛

解答题-问答题 | 适中(0.65)

12. 如图，为锐角的垂心，与交于点，，点在边上，满足，且于点，为延长线上一点，满足.证明：.

2018-12-29更新 | 164次组卷 | 1卷引用：数学奥林匹克高中训练题（157）

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2018高三·全国·竞赛

解答题-问答题 | 适中(0.65)

13. 设，.证明：.

2018-12-29更新 | 203次组卷 | 1卷引用：数学奥林匹克高中训练题（157）

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2018高三·全国·竞赛

解答题-问答题 | 较难(0.4)

14. 是否存在增函数，使得对正整数（且），只要为质数，就必定不可能有

2018-12-29更新 | 260次组卷 | 1卷引用：数学奥林匹克高中训练题（157）

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2018高三·全国·竞赛

解答题-问答题 | 较难(0.4)

15. 伦敦奥运会后，某国代表团派（为奇质数）名金牌获得者去该国各地进行体育推广活动.若先在个城市选择相同人数参加活动，后在另个城市选择个人参加活动.人员安排结束后，发现任个人在同一城市共同参加活动的次数恰好都等于.证明：.

2018-12-29更新 | 240次组卷 | 1卷引用：数学奥林匹克高中训练题（157）

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