【推荐1】新型冠状病毒（SARS-COV-2）是2019年在人体中发现的冠状病毒新毒株，主要通过呼吸道飞沫进行传播，鉴于其特殊的传播途径，某科学医疗机构发现一次性医用口罩起着一定的防护作用一般，口罩在投入市场前需做一系列的检测，其中罩体污点、鼻梁条缺陷、耳绳异常等常规瑕疵肉眼可见，而耳绳尤为关键，会出现耳绳缺失、错位、错熔、漏熔四种情况 .现在生产商大多采用全自动生产线生产口罩，某工厂现有甲（1台本体机拖2台耳带机）和乙（1台本体机拖3台耳带机）两条生产线，已知甲生产线的日产量为7万只，乙生产线的日产量为10万只，生产商为了了解是否有必要更换原有的甲生产线，在设备生产状况相同，不计其他影响的状态下，分别统计了两条生产线生产的1000只口罩的耳绳情况，得到的统计数据如下：

耳绳情况	合格	缺失	错位	错熔	漏熔
甲生产线	950	9	19	11	11
乙生产线	900	19	35	25	21

（1）从乙生产线生产的1000只口罩中随机抽取3只，将合格品的只数记为，求的分布列和数学期望；
（2）假设口罩的生产成本为0.4元/只，若耳绳发生缺陷时可通过人工修复至合格来挽回损失。耳绳缺失、漏熔时人工修复费为0.01元/只；错位与错熔时需更换耳绳，其中耳绳成本为0.06元/根，人工修复费为0.02元/只．
①以修复费的平均数作为判断依据，判断哪一条生产线在每日生产过程中挽回损失时所需费用较少？
②若经一次检验就合格的口罩，生产商以1元/只的批发价销售给市场，经人工修复的打八折出售。以该工厂的日平均收入为依据分析该生产商是否有必要更换甲生产线？

【推荐3】为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：

直径/mm	58	59	60	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	合计
个数	2	1	1	3	5	6	19	31	16	4	4	2	1	2	2	1	100

经计算，样本直径的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.
(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）,
；；
.
评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.
(2)将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.
（i）从设备的生产流水线上随机抽取3件零件，计算其中次品件数的数学期望；
（ii）从样本中随机抽取2件零件，计算其中次品件数的概率分布列和数学期望.

【推荐1】一商家诚邀甲、乙两名围棋高手进行一场网络国棋比赛，每比赛一局商家要向每名棋手支付2000元对局费，同时商家每局从转让网络转播权及广告宣传中获利12100元，从两名棋手以往比赛中得知，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，两名棋手约定：最多下五局，先连胜两局者获胜，比赛结束，比赛结束后，商家为获胜者颁发5000元的奖金，若没有决出获胜者则各颁发2500元.
（1）求下完五局且甲获胜的概率是多少；
（2）求商家从这场网络棋赛中获得的收益的数学期望是多少.

【推荐2】甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响．
(1)经过1轮投球，记甲的得分为，求的分布列；
(2)若经过轮投球，用表示经过第轮投球，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率．
①求，，；
②规定，经过计算机计算可估计得，请根据①中，，的值分别写出，关于的表达式．

【推荐3】2018年国际乒联总决赛在韩国仁川举行，比赛时间为12月13﹣12月16日，在男子单打项目，中国队准备选派4人参加.已知国家一线队共6名队员，二线队共4名队员.
（1）求恰好有3名国家一线队队员参加比赛的概率；
（2）设随机变量X表示参加比赛的国家二线队队员的人数，求X的分布列；
（3）男子单打决赛是林高远（中国）对阵张本智和（日本），比赛采用七局四胜制，已知在每局比赛中，林高远获胜的概率为，张本智和获胜的概率为，前两局比赛双方各胜一局，且各局比赛的结果相互独立，求林高远获得男子单打冠军的概率.