对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K在m（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记m为K的一个对称变换．例如，正三角形R在
（绕中心O作120°的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1图2所示），所以是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记
；又如，R在
（关于对称轴
所在直线的反射）的作用下仍然与R重合（如图1图3所示），所以也是R的一个对称变换，类似地，记
．记正三角形R的所有对称变换构成集合S．一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足：
I．
，
；
II．
，
；
Ⅲ．
，
，
；
Ⅳ．，
，
．
对于一个群G，称Ⅲ中的e为群G的单位元，称Ⅳ中的
为a在群G中的逆元．一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算
来说作成一个群．
(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如
．对于集合S中的元素，定义一种新运算*，规则如下：
，
．
①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；
②已知H是群G的一个子群，e，
分别是G，H的单位元，
，，
分别是a在群G，群H中的逆元．猜想e，之间的关系以及，之间的关系，并给出证明；
③写出群S的所有子群．
（绕中心O作120°的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1图2所示），所以是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记；又如，R在（关于对称轴所在直线的反射）的作用下仍然与R重合（如图1图3所示），所以也是R的一个对称变换，类似地，记．记正三角形R的所有对称变换构成集合S．一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足：I．
，；II．
，；Ⅲ．
，，；Ⅳ．
，，．对于一个群G，称Ⅲ中的e为群G的单位元，称Ⅳ中的
为a在群G中的逆元．一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算来说作成一个群．
(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如
．对于集合S中的元素，定义一种新运算*，规则如下：，．①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；
②已知H是群G的一个子群，e，
分别是G，H的单位元，，，分别是a在群G，群H中的逆元．猜想e，之间的关系以及，之间的关系，并给出证明；③写出群S的所有子群．
更新时间：2024-04-15 09:10:45
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【知识点】 集合新定义
相似题推荐
解答题-问答题
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困难
(0.15)
名校
【推荐1】设有限集合
，对于集合
，给出两个性质：
①对于集合A中任意一个元素
，当
时，在集合A中存在元素
，使得
，则称A为
的封闭子集；
②对于集合A中任意两个元素
，都有
，则称A为的开放子集.
(1)若
，集合
，判断集合
为的封闭子集还是开放子集；（直接写出结论）
(2)若
，且集合A为的封闭子集，求
的最小值；
(3)若
，且
为奇数，集合A为的开放子集，求的最大值.
，对于集合，给出两个性质：①对于集合A中任意一个元素
，当时，在集合A中存在元素，使得，则称A为的封闭子集；②对于集合A中任意两个元素
，都有，则称A为的开放子集.(1)若
，集合，判断集合为的封闭子集还是开放子集；（直接写出结论）(2)若
，且集合A为的封闭子集，求的最小值；(3)若
，且为奇数，集合A为的开放子集，求的最大值.
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【推荐2】设集合
的元素均为实数，若对任意
，存在
，
，使得
且
，则称元素个数最少的
和
为的“孪生集”；称的“孪生集”的“孪生集”为的“2级孪生集”；称的“2级孪生集”的“孪生集”为的“3级孪生集”，依此类推……
（1）设
，直接写出集合的“孪生集”；
（2）设元素个数为
的集合的“孪生集”分别为和，若使集合
中元素个数最少且所有元素之和为2，证明：中所有元素之和为
；
（3）若
，请直接写出的“级孪生集”的个数，及所有“级孪生集”的并集
的元素个数.
的元素均为实数，若对任意，存在，，使得且，则称元素个数最少的和为的“孪生集”；称的“孪生集”的“孪生集”为的“2级孪生集”；称的“2级孪生集”的“孪生集”为的“3级孪生集”，依此类推……（1）设
，直接写出集合的“孪生集”；（2）设元素个数为
的集合的“孪生集”分别为和，若使集合中元素个数最少且所有元素之和为2，证明：中所有元素之和为；（3）若
，请直接写出的“级孪生集”的个数，及所有“级孪生集”的并集的元素个数.
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，
，定义
.对任意有限集
为集合
，
，写出集合
与
；
满足
，
，且
，求证：数列
，
，
，
是等差数列；
，集合
（
，
），求证：存在集合
且
.
