在复数域中，对于正整数
，满足
的所有复数
称为次单位根，若一个次单位根满足对任意小于的正整数
，都有
，则称该次单位根为次本原单位根，规定1次本原单位根为1，例如当
时存在四个
次单位根
，因为
，
，因此只有两个次本原单位根
，对于正整数，设次本原单位根为
，则称多项式
为次本原多项式，记为
，规定
，例如
，请回答以下问题.
(1)直接写出
次单位根，并指出哪些是次本原单位根（无需证明）；
(2)求出
，并计算
，由此猜想
（无需证明）；
(3)设所有
次本原单位根在复平面内对应的点为
，复平面内一点
所对应的复数
满足
，求
的取值范围.
，满足的所有复数称为次单位根，若一个次单位根满足对任意小于的正整数，都有，则称该次单位根为次本原单位根，规定1次本原单位根为1，例如当时存在四个次单位根，因为，，因此只有两个次本原单位根，对于正整数，设次本原单位根为，则称多项式为次本原多项式，记为，规定，例如，请回答以下问题.(1)直接写出
次单位根，并指出哪些是次本原单位根（无需证明）；(2)求出
，并计算，由此猜想（无需证明）；(3)设所有
次本原单位根在复平面内对应的点为，复平面内一点所对应的复数满足，求的取值范围.
更新时间：2024-05-26 19:30:33
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相似题推荐
解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐1】设非零复数
满足关系
，且的实部为
，其中
．
(1)当
时，求复数，使在复平面上对应的点位于实轴的下方；
(2)是否存在正整数
，使得
对于任意实数
，只有最小值而无最大值？若存在这样的的值，请求出此时使
取得最小值的的值；若不存在这样的的值，请说明理由．
满足关系，且的实部为，其中．(1)当
时，求复数，使在复平面上对应的点位于实轴的下方；(2)是否存在正整数
，使得对于任意实数，只有最小值而无最大值？若存在这样的的值，请求出此时使取得最小值的的值；若不存在这样的的值，请说明理由．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐2】复数除了代数形式
之外，还有两种形式，分别是三角形式和指数形式，著名的欧拉公式
体现了两种形式之间的联系．利用复数的三角形式进行乘法运算，我们可以定义旋转变换．根据
，我们定义：在直角坐标系内，将任一点绕原点逆时针方向旋转
的变换称为旋转角是的旋转变换．设点
经过旋转角是的旋转变换下得到的点为
，且旋转变换的表达式为
曲线的旋转变换也如此，比如将“对勾”函数
图象上每一点绕原点逆时针旋转
后就得到双曲线：
．
(1)求点
在旋转角是
的旋转变化下得到的点的坐标；
(2)求曲线
在旋转角是的旋转变化下所得到的曲线方程；
(3)等边
中，
在曲线上，求的面积．
之外，还有两种形式，分别是三角形式和指数形式，著名的欧拉公式体现了两种形式之间的联系．利用复数的三角形式进行乘法运算，我们可以定义旋转变换．根据，我们定义：在直角坐标系内，将任一点绕原点逆时针方向旋转的变换称为旋转角是的旋转变换．设点经过旋转角是的旋转变换下得到的点为，且旋转变换的表达式为曲线的旋转变换也如此，比如将“对勾”函数图象上每一点绕原点逆时针旋转后就得到双曲线：．(1)求点
在旋转角是的旋转变化下得到的点的坐标；(2)求曲线
在旋转角是的旋转变化下所得到的曲线方程；(3)等边
中，在曲线上，求的面积．
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，其中i为虚数单位，
，
.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：
，
，则：
.如果令
.请用以上知识解决以下问题.
的值.
解答题-问答题
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较难
(0.4)
解题方法
【推荐1】设复平面上点
，
，…，
，…分别对应复数
，
，…，
，…
（1）设
，（
，
），用数学归纳法证明：
，
（2）已知
，且
（
为实常数），求出数列
的通项公式；
（3）在（2）的条件下，求
.
，，…，，…分别对应复数，，…，，…（1）设
，（，），用数学归纳法证明：，（2）已知
，且（为实常数），求出数列的通项公式； （3）在（2）的条件下，求
.
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
名校
【推荐2】任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式，即
，其中i为虚数单位，
，
.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：
，
，则：
.如果令
，则能导出复数乘方公式：
.请用以上知识解决以下问题.
(1)试将
写成三角形式；
(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：
；
(3)记
，由棣莫弗定理得
，从而得
，复数
，我们称其为1在复数域内的三次方根. 若
为64在复数域内的6次方根.求
取值构成的集合，其中
，
.
，其中i为虚数单位，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题.(1)试将
写成三角形式；(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：
；(3)记
，由棣莫弗定理得，从而得，复数，我们称其为1在复数域内的三次方根. 若为64在复数域内的6次方根.求取值构成的集合，其中，.
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，求
．
中，证明：
．
（其中
）视为一个向量，记作
．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量
的数量积定义为一个复数，记作
，满足
，复向量
的模定义为
．
，
，
为虚数单位，求复向量
的模；
，
，（其中
），
成立，证明：对于复向量
也成立；
时，称复向量
与
平行（其中
），求复数
