复数除了代数形式
之外，还有两种形式，分别是三角形式和指数形式，著名的欧拉公式
体现了两种形式之间的联系．利用复数的三角形式进行乘法运算，我们可以定义旋转变换．根据
，我们定义：在直角坐标系内，将任一点绕原点逆时针方向旋转
的变换称为旋转角是的旋转变换．设点
经过旋转角是的旋转变换下得到的点为
，且旋转变换的表达式为
曲线的旋转变换也如此，比如将“对勾”函数
图象上每一点绕原点逆时针旋转
后就得到双曲线：
．
(1)求点
在旋转角是
的旋转变化下得到的点的坐标；
(2)求曲线
在旋转角是的旋转变化下所得到的曲线方程；
(3)等边
中，
在曲线上，求的面积．
之外，还有两种形式，分别是三角形式和指数形式，著名的欧拉公式体现了两种形式之间的联系．利用复数的三角形式进行乘法运算，我们可以定义旋转变换．根据，我们定义：在直角坐标系内，将任一点绕原点逆时针方向旋转的变换称为旋转角是的旋转变换．设点经过旋转角是的旋转变换下得到的点为，且旋转变换的表达式为曲线的旋转变换也如此，比如将“对勾”函数图象上每一点绕原点逆时针旋转后就得到双曲线：．(1)求点
在旋转角是的旋转变化下得到的点的坐标；(2)求曲线
在旋转角是的旋转变化下所得到的曲线方程；(3)等边
中，在曲线上，求的面积．
更新时间：2024-05-14 17:10:14
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较难
(0.4)
【推荐1】已知函数
的定义域为
，值域为
，即
，若
，则称在上封闭.
（1）分别判断函数
，
在
上是否封闭，说明理由；
（2）函数
的定义域为
，且存在反函数
，若函数在上封闭，且函数
在上也封闭，求实数
的取值范围；
（3）已知函数的定义域为，对任意
，若
，有
恒成立，则称在上是单射，已知函数在上封闭且单射，并且满足
，其中
（
），
，证明：存在的真子集， 
，使得在所有
（
）上封闭.
的定义域为，值域为，即，若，则称在上封闭.（1）分别判断函数
，在上是否封闭，说明理由；（2）函数
的定义域为，且存在反函数，若函数在上封闭，且函数在上也封闭，求实数的取值范围；（3）已知函数
的定义域为，对任意，若，有恒成立，则称在上是单射，已知函数在上封闭且单射，并且满足，其中（），，证明：存在的真子集， ，使得在所有（）上封闭.
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解题方法
【推荐2】设
，（
且
）
（1）若
，且满足
，求
的取值范围；
（2）若
，是否存在
使得在区间
上是增函数？如果存在，说明可以取哪些值；如果不存在，请说明理由.
（3）定义在
上的一个函数
，
用分法
，将区间任意划分成
个小区间，如果存在一个常数
，使得不等式
恒成立，则称函数为在上的有界变差函数．试判断函数
是否为在上的有界变差函数？若是，求
的最小值；若不是，请说明理由．
，（且）（1）若
，且满足，求的取值范围；（2）若
，是否存在使得在区间上是增函数？如果存在，说明可以取哪些值；如果不存在，请说明理由.（3）定义在
上的一个函数，用分法
，将区间任意划分成个小区间，如果存在一个常数，使得不等式恒成立，则称函数为在上的有界变差函数．试判断函数是否为在上的有界变差函数？若是，求的最小值；若不是，请说明理由．
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，若满足
，则称
更接近
.
比
更接近0，求
”是“
更接近
且
，试判断
.
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【推荐1】设非零复数
满足关系
，且
的实部为
，其中
．
(1)当
时，求复数，使在复平面上对应的点位于实轴的下方；
(2)是否存在正整数
，使得
对于任意实数，只有最小值而无最大值？若存在这样的的值，请求出此时使
取得最小值的的值；若不存在这样的的值，请说明理由．
满足关系，且的实部为，其中．(1)当
时，求复数，使在复平面上对应的点位于实轴的下方；(2)是否存在正整数
，使得对于任意实数，只有最小值而无最大值？若存在这样的的值，请求出此时使取得最小值的的值；若不存在这样的的值，请说明理由．
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【推荐2】已知
，求
的值．
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，其中i为虚数单位，
，
.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：
，
，则：
.如果令
，则能导出复数乘方公式：
.请用以上知识解决以下问题.
写成三角形式；
；
；
的值.
